場合 $z = re^{i\theta}$、対数の分岐はどのように区間を制限しますか $\theta$?

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Mikkel Rev 2019-06-28 07:17.

私は、次の午前複雑な分析にスタインとShakarchiを。98ページで、対数の定義域の選択となる対数の分岐を定義しています。複雑な議論の間隔の選択を意味しているのではないかと思います$\theta$。私は引用します:

定理6.1仮定$\Omega$ 単連結 $1 \in \Omega$ そして $0 \not \in \Omega$。その後、$\Omega$、対数の分岐があります $F(z) = \log_\Omega (z)$ そのような(i) $F$ でホロマルフィックです $\Omega$、(ii) $e^{F(z)} = z$ すべてのために $z \in \Omega$ および(iii) $F(r) = \log(r)$ 実数の場合 $r$ 十分に近い $1$

【証明省略】

例えばスリット面で $\mathbb{C} \setminus (- \infty,0]$我々は主要なブランチ[式で]対数のを$\log (z) = \log r + i \theta$ にとって $\theta \in (- \pi, \pi)$

だから著者は見つけました

(a)の間隔 $\theta$ (b)対数の主分岐の公式。

著者はこれをどのように行いましたか(特に $\theta$)?

場合 $a \in \mathbb{R}$、私にはそうです $(a\pi,(a+2)\pi)$ 同様に良い選択であり、この選択は定理6.1に依存しません。

対数の他の分岐を計算する方法と、それらの適切な式について教えていただけますか?

1 answers

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Stewan 2019-06-28 10:59.

要するに、この特定の間隔の選択の理由は条件(iii)です。あなたが何かを取ることについてあなたが言ったこと$(a\pi,(a+2)\pi)$ 完全に正しいわけではありません(少なくとも対数の主分岐が必要な場合)。 $a$ それは奇数の整数ではありません、あなたの間隔はの倍数を含みます $\pi$ フォームの $(2n+1)\pi$$n\in \mathbb{Z}.$ しかし、そのような議論は、関連する複素数が定義域から削除した負の実軸上にあることを意味します $\Omega.$ したがって、間隔の唯一のオプションは次のとおりです。 $((2k+1)\pi,(2k+3)\pi)$$k\in\mathbb{Z}.$

原則として $k$条件(i)と(ii)を満たすには十分ですが、条件(iii)についても考えてみましょう。いずれかを取る$k$ 以外 $-1,$ その後の間隔 $\theta$ 含まれません $0.$したがって、対数の対応する分岐は実際の値を取ることができないため、条件(iii)を満たすことができません。したがって、この特定の間隔の選択のみが残されます。

同様の推論を任意のドメインに適用できます $\Omega$ フォームの $$\mathbb{C}\setminus \{re^{i\varphi}:r\in \mathbb{R},r\geq 0\}$$ ここで、複素平面全体を取り、原点から始まる光線だけを角度で削除します。 $\varphi\in\mathbb{R}.$ 演習として、どの選択肢を検討することができます $\phi$定理6.1の条件を満たすことが許可されています。原点から無限大に向かう他の曲線(アルキメディアンまたは対数螺旋など)を削除することもできますが、対数の式での引数は次のようになります。$r.$

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