非関数方程式のコーナーポイントを見つける方法は?

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linker 2019-06-27 14:39.

方程式を考えてみましょう

$$-242.0404+0.26639x-0.043941y+(5.9313\times10^{-5})\times xy-(3.9303\times{10^{-6}})\times y^2-7000=0$$

$x,y>0$。プロットすると、次のようになります。

ここで、この方程式/グラフでコーナーポイント/変曲点を見つけたいと思います。これはおおよそここのどこかにあるはずです。これは、私自身の目を使用して、手動で特定した近似です。

この点を数学的に見つける方法についての助けは本当に役に立ちます。

更新 エイドリアンの答えに基づいて、私は以下を持っています$(1.1842*10^{-4},0.6456*10^{-4})$ (何がこのわずかなエラーを引き起こす可能性があるのか​​疑問に思いますか?):

実際のコーナーポイントは、エイドリアンのアプローチで見つかったものから少し離れているようです(なぜですか?):

更新2 問題は図面のアスペクト比でした。アスペクト比を修正したところ、エイドリアンの答えはかなり正確に見えます。

3 answers

3
Adrian Keister 2019-06-28 00:11.

Calvin Khorの一連の推論に従って、次のアルゴリズムを使用します。

  1. 双曲線の中心を見つけ、中心が原点と一致するように双曲線を平行移動します。
  2. 双曲線を正規形にするために必要な回転角を見つけます $x^2/a^2-y^2/b^2=1.$
  3. コーナーポイントは、この時点で、によって表されます $x=\pm a.$
  4. これらの2つのポイントを、手順2で見つけた角度だけ回転させて戻します。
  5. 手順1で実行した変換を通じて、これら2つのポイントを変換し直します。

ザ・ https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbola#Quadratic_equation ここで私たちのガイドになります。

ステップ1.wikiページによると、双曲線を次の形式で記述する必要があります $$A_{xx}x^2+2A_{xy}xy+A_{yy}y^2+2B_xx+2B_yy+C=0. $$ 我々は持っています $$0x^2+\left(5.9313\times 10^{-5}\right)xy-\left(3.9303\times 10^{-6}\right)y^2 + 0.26639x-0.043941y-7242.0404=0, $$ 製造 10 ^ /2=2.96565\times -始める\ {ALIGN *} A_ {XX}&= 0 \\ A_ {X-Y}&= \左({5} \右10 ^は5.9313 \回){ - 5} \ \ A_ {yy}&=-3.9303 \ times 10 ^ {-6} \\ B_x&= 0.26639 / 2 = 0.133195 \\ B_y&=-0.043941 / 2 = -0.0219705 \\ C&=-7242.0404。\ end {align *} 双曲線の性質、つまり、 $$D=\left|\begin{matrix}A_{xx}&A_{xy}\\ A_{xy} &A_{yy} \end{matrix}\right|<0,\quad\text{or}\quad D=\left|\begin{matrix}0&2.96565\times 10^{-5}\\ 2.96565\times 10^{-5} &-3.9303\times 10^{-6} \end{matrix}\right|=-8.79508\times 10^{-10}<0, $$ これは明らかに真実です。センター$(x_c,y_c)$双曲線の値は\ begin {align *} x_c&=-\ frac {1} {D} \ left | \ begin {matrix} B_x&A_ {xy} \\ B_y&A_ {yy} \ end {matrix} \ rightで与えられ ます|| = \ frac {1} {8.79508 \ times 10 ^ {-10}} \ left | \ begin {matrix} 0.133195&2.96565 \ times 10 ^ {-5} \\ -0.0219705&-3.9303 \ times 10 ^ {- 6} \ end {matrix} \ right | = 145.618 \\ y_c&=-\ frac {1} {D} \ left | \ begin {matrix} A_ {xx}&B_x \\ A_ {xy}&B_y \ end {matrix} \ right | = \ frac {1} {8.79508 \ times 10 ^ {-10}} \ left | \ begin {matrix} 0&0.133195 \\ 2.96565 \ times 10 ^ {-5}&-0.0219705 \ end {matrix} \ right | = -4491.26。\ end {align *}

ステップ2.回転角は\ begin {align *} \ tan(2 \ varphi)&= \ frac {2A_ {xy}} {A_ {xx} -A_ {yy}} \\ \ varphi&= \で与えられ ますfrac12 \、\ arctan \ left(\ frac {2A_ {xy}} {A_ {xx} -A_ {yy}} \ right)= 0.752315 \、\ text {rad} = 43.1045 ^ {\ circ}、\ end { 間違いなく正しいように見えるalign *}

ステップ3.の式 $a^2$ です $$a^2=-\frac{\Delta}{\lambda_1 D}, $$ ここで、 \ begin {align *} \ Delta&= \ left | \ begin {matrix} A_ {xx}&A_ {xy}&B_x \\ A_ {xy}&A_ {yy}&B_y \\ B_x&B_y&C \ end {matrix} \ right | = 6.26559 \ times 10 ^ {-6} \\ 0&= \ lambda ^ 2-(A_ {xx} + A_ {yy})\ lambda + D。\ end {align *} 残念ながら、wikiページでは区別できません$\lambda_1$ そして $\lambda_2$。兆候を調べるなら、$a^2>0,$ つまり、 $D<0$ そして $\Delta>0,$正のルートを選択する必要があります。我々は 、\端{ALIGN *} - \回10 ^ \ \\ lambda_1&= 2.77564を{5} - 3.16867 \回10 ^ { - 5} lambda_2&= \ {ALIGN *}を開始\ よう $$a=\pm 16020.6. $$ ステップ4.回転する必要があるポイントは $(16020.6, 0)$ ある角度で反時計回りに $\varphi=0.752315\,\text{rad}$。それを行うための回転行列は次の式で与えられます。 $$R=\left[\begin{matrix}\cos(\varphi)&-\sin(\varphi)\\ \sin(\varphi) &\cos(\varphi)\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0.730109&-0.683331\\ 0.683331 &0.730109\end{matrix}\right]. $$ 回転後、ポイントは次の場所にあります。 $(11696.8, 10947.4).$

ステップ5。これは真実の瞬間です!元の座標系に変換し直す必要があります。元の双曲線の中心はにありました$(145.618, -4491.26).$私たちがしなければならないことは、翻訳されていないバージョンを取得するために座標を一緒に追加することです。最後のポイントはにあります$(11842.4, 6456.14).$

これは私の他の答えからそれほど遠くありません!この点が曲線上にあることを確認します

$$x=\frac{7242.0404+\left(3.9303\times{10^{-6}}\right) y^2+0.043941y}{0.26639+\left(5.9313\times10^{-5}\right)\!y}, $$ そしてそうです。つまり、この点がグラフの「コーナー」であると言えます。

1
Adrian Keister 2019-06-27 22:29.

最初に式を単純化し、次に $x:$ \ begin {align *} -242.0404 + 0.26639x-0.043941y + \ left(5.9313 \ times10 ^ {-5} \ right)xy- \ left(3.9303 \ times {10 ^ {-6}} \ right)y ^ 2 -7000&= 0 \\ 0.26639x-0.043941y + \ left(5.9313 \ times10 ^ {-5} \ right)xy- \ left(3.9303 \ times {10 ^ {-6}} \ right)y ^ 2-7242.0404& = 0 \ end {align *} \ begin {align *} x \ left [0.26639 + \ left(5.9313 \ times10 ^ {-5} \ right)\!y \ right]&= 7242.0404 + \ left(3.9303 \ times {10 ^ {-6}} \ right)y ^ 2 + 0.043941y \\ x&= \ frac {7242.0404 + \ left(3.9303 \ times {10 ^ {-6}} \ right)y ^ 2 + 0.043941y} {0.26639 + \ left(5.9313 \ times10 ^ {-5} \ right)\!y}。\ end {align *} わかります$x$ の機能です $y$、ドメインでは、を除くすべての実数 $-0.26639/\left(5.9313\times 10^{-5}\right).$ 関数を反転するだけです(線についての反射に対応します) $y=x$)。我々は持っています $$y(x)=\frac{7242.0404+\left(3.9303\times{10^{-6}}\right) x^2+0.043941x}{0.26639+\left(5.9313\times10^{-5}\right)\!x}. $$ あなたが求めているコーナーは、 $y'(x)=-1$。だから私たちは持っています $$y'(x)=\frac{-1.18771\times 10^{8}+595.215x+0.0662637x^2}{(4491.26+x)^2}. $$ 設定 $y'(x)=-1$ と解決する $x,$ 私たちはそれを見つけます $$x=-15104.6,\;6122.12, $$ 対応する $$y=-11874.4,\; 12165.6, $$ それぞれ。だからあなたが求めているポイント(交換$x$ そして $y$ 再び)は $$(12165.6, 6122.12). $$ ちなみに、「目が離せない」場合は、グラフのアスペクト比がコーナーの位置に大きく影響することに注意してください。アスペクト比を強制することをお勧めします$1,$ あなたがコーナーがどこにあると思うかを言う前に。

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quarague 2019-06-28 14:08.

次のように、より強力な数学を使用することもできます。

a)パラメータ化を見つける $t \mapsto \gamma(t)=(x(t), y(t))$ あなたの曲線の。

b)再パラメータ化して、弧長でパラメータ化されたキューを取得します。 $x'(t)^2+y'(t)^2=1$ すべてのために $t$

c)曲率を計算する $\left\|\gamma''(t)\right\|$

d)探している点は最大曲率の点です

ウィキペディアのページ https://en.wikipedia.org/wiki/Curvatureこれをより詳細に説明します。答えはエイドリアン・キースターによって与えられたものとまったく同じでなければなりません。

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