マルコフ性を確認する

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tommy1996q 2019-06-22 21:38.

与えられたマルコフ過程 $(X_t)_{t \geq 0}$ それを確認したい $P(X_{t_3} \in A | X_{t_2} \in B \; X_{t_1} \in C)= P(X_{t_3} \in A | X_{t_2} \in B)$$t_3 > t_2 > t_1$。私はそれが明白であるべきだと知っていますが、(可能であれば)マルコフ過程の定義のみを使用してthaatを証明したいと思います。$E[\phi(X_{t+h})| \mathcal{F}_t]= E[\phi(X_{t+h})|X_t]$ または同等に $ P(X_{t+h}| \mathcal{F}_t)= P(X_{t+h}|X_t)$。本当に簡単なはずですが、条件付き確率を使用して機能させる方法がわかりません。

1 answers

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forgottenarrow 2019-07-20 10:04.

まず、これは実際には真実ではありません。たとえば、確率変数のiidシーケンスを定義します$\{X_i\}$ によって定義されます、

$$X_i = \begin{cases} 1 &\text{ with probability }1/2\\ -1 &\text{ with probability }1/2 \end{cases}.$$

しましょう $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ (ここに $S_0 = 0$)。次に$\{S_n:n\in\mathbb{N}\}$マルコフ連鎖です。しましょう$t_1 = 1$$t_2 = 2$ そして $t_3 = 3$。しましょう$C = \{S_1 = 1\}$$B = \{|S_2|\leq 2\}$ そして $A = \{S_3 = -3\}$。時間1の場合$S_1 = 1$、それからそれは不可能です $S_3 = -3$、 そう

$$P(S_{t_3} \in A|S_{t_2}\in B,S_{t_1}\in C) = 0.$$

一方、 $|S_2| \leq 2$ 確率1で、

$$P(S_{t_3} \in A|S_{t_2}\in B) = P(S_3= -3) = 1/8 \neq 0 = P(S_{t_3} \in A|S_{t_2}\in B,S_{t_1}\in C).$$

あなたが実際に証明したかったのは、

$$P(X_{t_3} \in A|X_{t_2},X_{t_1}) = P(X_{t_3} \in A|X_{t_2}).$$

離散設定では、これを次のように書くことができます。

$$P(X_{t_3} \in A|X_{t_2}=x_2,X_{t_1}=x_1) = P(X_{t_3} \in A|X_{t_2}=x_2),$$

いつでも $P(X_{t_2}=x_2,X_{t_1}=x_1) > 0$。しかし、置き換えることはできません$(x_2,x_3)$非原子セットで。そのため、条件付き期待値の定義は、学部の確率コースで定義されている単純な条件付き確率ではなく、さまざまなフィルター処理での積分に関する一般的なステートメントです。

これは、タワープロパティを繰り返し繰り返すことで実行できます。注意してください、

$$\sigma(X_{t_2}) \subset \sigma(X_{t_2},X_{t_1}) \subset \mathcal{F}_{t_2}.$$

次に、

\begin{align*} P(X_{t_3}|X_{t_2},X_{t_1}) &= E[P(X_{t_3}|X_{t_2},X_{t_1})|\mathcal{F}_{t_2}] \\ &= E[P(X_{t_3}|\mathcal{F}_{t_2})|X_{t_2},X_{t_1}] \\ &= E[P(X_{t_3}|X_{t_2})|X_{t_2},X_{t_1}] \\ &= P(X_{t_3}|X_{t_2}). \end{align*}

お役に立てば幸いです。

*編集:いくつかのタイプミスを修正しました。

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