群拡大における逆元の存在からの正規化された2コサイクルの条件

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mma 2019-06-20 06:22.

それはよく知られている事実です $A$ アーベル群と $G$ がグループである場合、 $G$ 沿って $A$ グループと同型です($A\times G,\,\bullet)$、ここでグループ操作 $\bullet$ です

$$(a_1,g_1)\bullet(a_2,g_2) = (a_1+\varphi_{g_1}(a_2)+f(g_1,g_2),\,g_1g_2)\tag{1}$$

どこ

  1. $\varphi:(A\times G)\to A: (a,g)\mapsto \varphi_g(a)$ の群作用です $G$ オン $A$
  2. $f: G\times G\to A$ コサイクルである、すなわち満たす $f(g_1,\,g_2g_3)+\varphi_{g_1}(f(g_2,\,g_3)) = f(g_1g_2,\,g_3)+f(g_1,\,g_2)$

の逆元を計算したい $(a,g)$。簡単にするために、正規化されたものを取りましょう$f$、つまり、単位元の場合 $e$$G$ 仮定します $f(e,e)=0$。この場合、$$f(g,e)=f(e,g)=f(e,e)=0\tag{2}$$ すべてのために $g\in G$ (どこ $0$ の単位元です $A$)、およびの単位元 $(A\times G,\bullet)$ です $(0,e)$。だから、もし$(a,g)^{-1}=(a_1,g_1)$ その後 $$ (a_1,g_1)(a,g) = (0,g)\tag{3}$$ そして $$ (a,g)(a_1,g_1) = (0,g)\tag{4}$$ (1)、(2)、(3)から $$g_1=g^{-1}$$ そして $$a_1=\varphi_{g}(a)-f(g^{-1},g)\tag{5}$$ (1)、(2)、(4)から $$ a_1=\varphi_g(a)+\varphi_g(f(g,g^{-1}))\tag{6}$$

(5)と(6)のRHSの同等性から

$$-f(g^{-1},g)=\varphi_g(f(g,g^{-1}))\tag{7}$$

これは、正規化されたすべての2コサイクルに当てはまると確信していますか?コサイクルの状態からは導き出せませんでした

$$ f(g_1,g_2g_3)+\varphi_{g_1}(f(g_2,g_3)) = f(g_1g_2,g_3) + f(g_1,g_2)\tag{8}$$ おそらく私は何かを逃したのですか?

1 answers

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Minseon Shin 2019-06-21 06:19.

((3)と(4)では、「$(0,g)$「あるべき」$(0,e)$"。)

(5)と(6)をどうやって取得しているのかわかりません。(1)と(3)を使用すると、\ begin {align} a_ {1} + \ varphi_ {g ^ {-1}}(a)+ f(g ^ {-1}、g)= 0 \ tagが得られます。 {5$'$} \ end {align}そして(1)と(4)を使用すると、\ begin {align} a + \ varphi_ {g}(a_ {1})+ f(g、g ^ {-1})= 0 \が得られます。タグ{6$'$} \ end {align}と適用$\varphi_{g^{-1}}$to(6 ')は\ begin {align} \ varphi_ {g ^ {-1}}(a)+ a_ {1} + \ varphi_ {g ^ {-1}}(f(g、g ^ {-1 }))= 0 \ tag {6$''$} \ end {align}そして(5 ')と(6' ')を比較すると、\ begin {align} f(g ^ {-1}、g)= \ varphi_ {g ^ {-1}}(f(g 、g ^ {-1}))\ tag {7$'$} \ end {align}を設定することで取得できます$(g_{1},g_{2},g_{3}) = (g^{-1},g,g^{-1})$ (8)および(2)を使用します。

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