ファンクター $\mathcal G\to \mathbf{Set}$ 左と同じです $G$-セットする

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user634426 2019-06-19 23:35.

ここから例1.2.8の最初の部分を理解しようとしています。 https://arxiv.org/pdf/1612.09375.pdf

しましょう $Ob(\mathcal G)=\{\star\}$。ファンクター$F:\mathcal G\to \mathbf{Set}$ で構成されています:

  • 割り当て $F: Ob(\mathcal G)\to Ob(\mathbf{Set}),\star\mapsto S_\star$。これは確かにセットを選択することと「同じ」です(正式には、これはそのような割り当てのクラスがセットのクラスと全単射であることを意味すると思います)。
  • 割り当て $F: \mathcal G(\star,\star)\to\mathbf {Set}(S_\star,S_\star)$ 満足 $F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)$ そして $F(1_\star)=1_{S_\star}$ すべてのために $f,g:\star\to\star$。以来$\mathcal G(\star,\star)$ モノイドの要素のセットに全単射です $G$ それ以来 $\circ$ カテゴリ内はに対応します $\cdot$ モノイドでは、上記は次のように書くことができます $F:G\to \mathbf {Set}(\star,\star)$ 対象 $F(f\cdot g)=F(f)\circ F(g)$$F(1_\star)=1_{S_\star}$

上記からどのように得ますか $F:\mathcal G\to\mathbf{Set}$ セットで構成されています $S$ 一緒に、それぞれのために $g\in G$、 機能 $F(g):S\to S$上にリンクされたテキストで主張されているように、機能性の公理を満たしていますか?

2 answers

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guidoar 2019-06-20 07:22.

ダニエルがコメントで述べているように、この主張は、この特定の場合のファンクターの定義を「開梱」することに他なりません。

最初に気付かなければならないのは、亜群 $\mathcal{G}$ オブジェクトが1つしかない $*$「グループです」。つまり、矢印$G = \mathcal{G}(*,*)$ グループのために決定します $\mathcal{G}$ (前者はIDで表されるため、どのカテゴリでも、オブジェクトを忘れて矢印を操作するだけでよいことを思い出してください)。

さて、正式に、カテゴリを検討してください $G\mathsf{Set}$$G$-と通勤する機能に一緒に設定します $G$-行動。ここのオブジェクトはペアと考えることができます$(X,\rho)$ どこ $\rho : G \to S(X)$ アクションです。

これで、箇条書きに従って、ファンクターを定義できます。

$$ \begin{align} \mathcal{\Gamma} :\mathsf{Set}&^\mathcal{G} \to G\mathsf{Set}\\ & F \longmapsto (F* , \rho_F) \\ & \downarrow_{\eta}\ \mapsto \quad \downarrow_{\eta_*}\\ & F' \mapsto (F'*,\rho_{F'}) \end{align} $$

どこ $\rho_F(g)(x) = F(g)(x)$ そして $\eta_* : F* \to F'*$ それは $*$-自然変換のコンポーネント $\eta$

これがカテゴリの同値であるだけでなく、カテゴリの同型であることを確認できます。 $(X,\rho)$ マップするファンクターに $* \mapsto X$ そして $ * \xrightarrow{g} * $$\rho(g) : X \to X$。同様に、$G$-関数 $h$ から $(X,\rho)$$(X',\rho')$ 唯一の要素がである自然な変換を引き起こします $h$ 自体。

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user634426 2019-07-15 07:51.

しましょう $M$ 1つのオブジェクトのカテゴリと見なされるモノイドであること $\mathscr M$ ユニークなオブジェクトで $\star$

最初に、すべてのファンクターを示します $F: \mathscr M\to\mathbf{Set}$ 左を生じさせる $M$-セット(定義上、ペア) $(S,\cdot)$、 どこ $S$ セットであり、 $\cdot$ の左アクションです $M$、すなわち、地図 $$M\times S\to M,\\(m,s)\mapsto m\cdot s $$ そのような $(m_1m_2)\cdot s=m_1\cdot(m_2\cdot s)$ そして $e\cdot s=s$、 どこ $e$ のアイデンティティです $M$。)

しましょう $S=F(\star)$ マップを定義します $M\times S\to S$、書かれた $(m,s)\mapsto m\cdot s$、 沿って $m\cdot s=F(m)(s)$。(ここでは、の要素を特定します$M$ の矢印で $\mathscr M$ 同じ文字を使用します $m$それらを示すために。)行動の公理が成り立つことを確認する必要があります。まあ、以来$F$ ファンクターです、私たちは持っています $F(1_\star)=1_S$ そして $F(m_1\circ m_2)=F(m_1)\circ F(m_2)$。で各方程式の両辺を評価する$s\in S$、それぞれ、 $F(1_\star)(s)=1_S(s)$ そして $(m_1\circ m_2)(s)=F(m_1)(F(m_2)(s))$ または、同等に、 $1_\star\cdot s=s$ そして $(m_1\circ m_2)\cdot s=m_1\cdot (m_2\cdot s) $。以来$\circ$ の乗算に対応します $M$ そして $1_\star$ に対応 $e$、これは $e\cdot s=s$ そして $(m_1m_2)\cdot s=m_1\cdot(m_2\cdot s)$。この方法では、$F$ 左を生じさせる $M$-セットする。

逆に、左を考えてください $M$-セットする $(S,\cdot)$。ファンクターを定義する$F:\mathscr M\to \mathbf{Set}$次のように。一意のオブジェクトの画像を定義します$\star$ 沿って $F(\star)=S$。場合$m:\star\to \star$ の矢印です $\mathscr M$、定義する $F(m): S\to S$ 沿って $F(m)(s)=m\cdot s$。機能性を証明しましょう:$$F(m_1\circ m_2)=(m_1\circ m_2)\cdot s=(m_1m_2)\cdot s=m_1\cdot (m_2\cdot s)=\\ m_1\cdot F(m_2)(s)=F(m_1)(F(m_2)(s))=(F(m_1)\circ F(m_2))(s).$$ の2番目の要件 $F$ファンクターであることも同様にチェックされます。これは、すべての左側に$M$-そこにセットはファンクターに対応します $\mathscr M\to \mathbf{Set}$

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