場合 $a_n=\left[\frac{n^2+8n+10}{n+9}\right]$、検索 $ \sum_{n=1}^{30} a_n$

3
Trey Anupong 2019-06-19 20:49.

私は高校の数学の知識を前提として、問題に取り組んでいます。

しましょう ${a_n}$ によって定義されたシーケンスである $$a_n=\left[\frac{n^2+8n+10}{n+9}\right]\,,$$ どこ $[x]$ を超えない最大の整数を示します $x$。の値を見つける$ \sum\limits_{n=1}^{30} a_n$

太字の文章は正直わかりません。提供される答えは$445$。ここで何を見るべきか説明してもらえますか?

3 answers

3
CY Aries 2019-06-19 20:59.

$[x]$ を超えない最大の整数です $x$

例えば、 $[12.4]=12$$[10.995]=10$$[7]=7$$[-2.3]=-3$

この問題について $\displaystyle a_n=\left[\frac{(n-1)(n+9)+19}{n+9}\right]=n-1+\left[\frac{19}{n+9}\right]$

にとって $n=1,2,\dots, 10$$a_n=n$

にとって $n=11,12,\dots, 30$$a_n=n-1$

5
Anurag A 2019-06-19 20:57.

ヒント \begin{align*} \frac{n^2+8n+10}{n+9}&=\frac{n^2+9n-n-9+19}{n+9}\\ &=n-1+\frac{19}{n+9}\\ \therefore \left\lfloor\frac{n^2+8n+10}{n+9}\right\rfloor&=n-1+\left\lfloor \frac{19}{n+9}\right\rfloor \end{align*} なので $n$ から変化します $1$$30$\begin{align*} \left\lfloor\frac{19}{\color{red}{1}+9}\right\rfloor&=\lfloor 1.9\rfloor=1\\ \left\lfloor\frac{19}{\color{red}{2}+9}\right\rfloor&=\lfloor 1.7\rfloor=1\\ \vdots & = \vdots\\ \left\lfloor\frac{19}{\color{red}{11}+9}\right\rfloor&=\lfloor 0.95\rfloor=0\\ \vdots & = \vdots\\ \end{align*} うまくいけば、ここからそれを取ることができます。

2
Mohammad Riazi-Kermani 2019-06-19 21:13.

$$\sum\limits_{n=1}^{30} a_n =\sum\limits_{n=1}^{30}(n-1)+ \sum\limits_{n=1}^{30} [\frac{19}{n+9}]=$$

$$ (1+2+3+...+29) + \sum _1^{10} (1) =435+10=445$$

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