の不可逆性の証明 $f(x)=\sum_{i=0}^{p-1}(p-i)x^i$ [複製]

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Kai 2019-06-19 15:00.

しましょう $p$奇妙な素数になります。それを示す$f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}(p-i)x^i$ 既約です。

明らかにモジュロリダクションは機能しません(これはすでにモジュロであるため) $p$減少)。だから私はこの多項式のルーツについて考えました。注意$f(0)=p, f(-1)=\frac{1+p}{2}$、しかしそれから私は立ち往生しています。ヒントをいただければ幸いです。

1 answers

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Cardboard Box 2019-06-21 09:06.

最初に注意してください $$ (x-1) f(x) = x^p+x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x - p . $$ これは、のすべてのルーツが $f$厳密に単位円の外側にあります。の場合$f(\alpha) = 0$$|\alpha| \leq 1$、次に上記を再配置し、三角不等式を使用すると、 $$ p = |\alpha + \cdots + \alpha^{p}| \leq \sum_{i=1}^{p} |\alpha|^i \leq p . $$ しかし、これは $\alpha = 1$、それ以降はそうではありません $f(1) \neq 0$

今それを仮定します $f$ としての要因 $f = gh$。それから$p = f(0) = g(0) h(0)$ プライムです、 $g$ または $h$ に等しい定数項が必要です $\pm 1$。しかしその後$\pm 1$は、この係数の根の積であり、すべて絶対値で1より大きくなります。しかし、これは不可能なので、次のように結論付けます。$f$ 既約です。

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