線形マップの画像、カーネル、それらの寸法、およびそれらのベースを見つける-私の解決策を確認する

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james F. 2019-06-11 04:26.

私は線形代数を学び、線形写像の画像、カーネル、それらの次元、およびそれらのベースを見つけようとしています。 $ \varphi (a,b,c,d) = (3a+2b, b-c,2d-a) $。また、線形写像の行列をベースで見つけることになっています$B=$ {{$(1,0,0,0),(1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)$}と $C=$ {{$(1,1,1), (0,1,1), (0,0,-1)$}。

私の解決策はこれです:

線形写像の行列を作成し、すべての線形方程式を解きました $0$

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 &0\\ 0&1 &-1 &0 \\ -1&0 &0 &2 \end{pmatrix}$

$\sim $

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &2\\ 0&1 &0 &3 \\ 0&0 &1 &3 \end{pmatrix}$ $x1=2s$$x2 = -3s$$x3 = -3s$$x4=s$

したがって、のカーネル $ \varphi $ = $<s*(2,-3,-3,1)>$ そして $B_{ker}=(2,-3,-3,1)$ とカーネルの次元 $=1$。だから$\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^3$、画像のサイズは $3$。最初の3つの列にピボットがあるので、次のように言うことができます。$<(3,0,-1),(2,1,0), (0,-1,0)>$ の画像です $ \varphi $。そしての基地のために$\varphi$、取ることができます $(3,0,−1),(2,1,0),(0,−1,0)$、線形独立であるため。

私の解決策は正しいですか?

しかし、ベースBとCで行列を見つける方法がわかりません。それについて何か助けはありますか?ありがとう!

1 answers

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peek-a-boo 2019-06-11 06:53.

いくつかの間違いがあります。まず、行列の縮小行階段形(RREF)は、\ begin {equation} \ begin {pmatrix} 1&0&0&-2 \\ 0&1&0&3 \\ 0&0&1&である必要があります。 3 \ end {pmatrix} \ end {equation}次のようになります$-2$ 隅ではなく $2$。しかし、驚くべきことに、$\ker (\varphi)$ あなたが見つけたのは実際には正しいです(最初のエラーでキャンセルされた計算で2番目の符号エラーを犯したに違いありません)。

とカーネルの次元 $=1$。だから$\mathbb{R^4} \to \mathbb{R^3}$、画像のサイズは $3$

これは正しいです。

最初にピボットがあります $3$ カラム、だから私たちはそれを言うことができます $<(3,0,−1),(2,1,0),(0,−1,0)>$ の画像です $\varphi$。そしての基地のために$\varphi$、取ることができます $(3,0,−1),(2,1,0),(0,−1,0)$、線形独立であるため。

これは誤った記述です。これは、深い概念的なものというよりは、用語の間違いだと思います。適切なステートメントは$\{(3,0,−1),(2,1,0),(0,−1,0)\}$ のイメージ基礎を形成します$\varphi$。線形写像の画像はの部分空間であることを思い出してください$\mathbb{R^3}$、だからそれだけで構成することはできません $3$ ベクトル、しかしの基礎 $3$-次元画像はで構成されています $3$ ベクトル。

ちなみに、この特定の例では、の画像の基礎を決定するはるかに簡単な方法があります $\varphi$。画像に寸法があることはすでに述べました$3$。ただし、ターゲットスペースに注意してください$\mathbb{R^3}$ 寸法もあります $3$。したがって、$\text{image}(\varphi) = \mathbb{R^3}$。したがって、特に明白な根拠があります。$\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}$


最後に、計算するには $[\varphi]_B^C$、の行列 $\varphi$ 基地に関して $B$ そして $C$、あなたがしなければならないことは各ベクトルのためです $v \in B$、何を計算する $\varphi(v)$ であり、からのベクトルの線形結合として記述します。 $C$。その場合、係数は行列のエントリになります

たとえば、の最初のベクトル $B$ です $(1,0,0,0)$。だから、今私たちは評価する必要があります$\varphi$ このベクトルで: \begin{align} \varphi(1,0,0,0) &= (1,0,-1) \\ &= (1,1,1) - (0,1,1) + (0,0,-1) \end{align} 係数が $1,-1,1$。だから、の最初の列$[\varphi]_B^C$以下のように見える\開始{pmatrixの1}&\ CDOT&\ CDOT&\ CDOT \\ -1&\ CDOT&\ CDOT&\ CDOT \\ 1&\ CDOT&\ CDOT&\ CDOT \端{} pmatrixの

の2番目のベクトル $B$ です $(1,1,0,0)$。ここで、もう一度計算します。\begin{align} \varphi(1,1,0,0) &= (5,1,-1) \\ &= 5 (1,1,1) -4 (0,1,1) + 2(0,0,-1) \end{align} したがって、の4列のうち最初の2列は $[\varphi]_B^C$次のようになります:\ begin {equation} \ begin {pmatrix} 1&5&\ cdot&\ cdot \\ -1&-4&\ cdot&\ cdot \\ 1&2&\ cdot&\ cdot \ end {pmatrix } \ end {equation}最後の2つの列が何であるかを理解するのはあなたに任せます(私が行ったのと同じプロセスに従います)。

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