与えられた $ a_{k+1} \ge \frac{k a_{k}}{(a_{k}^{2} + k-1)}, \:\: k > 0$、証明する $ S_{n} = a_{1} + .. + a_{n} \ge n, \:\: n \ge 2 $

2
Arief Anbiya 2019-06-09 07:13.

の正の実数のシーケンスを仮定します $$ a_{k+1} \ge \frac{k a_{k}}{(a_{k}^{2} + k-1)}, \:\: k > 0$$ 証明してください $$ S_{n} = a_{1} + .. + a_{n} \ge n, \:\: n \ge 2 $$


解決策:2つの異なるアプローチを示します。1つは終了し、もう1つはまだ混乱しています。

  • 完成したアプローチ:

誘導により、ベースケースについては $$ a_{2} \ge a_{1}/a_{1}^{2} = 1/a_{1}^ \implies a_{1} a_{2} \ge 1 $$ AM-GMによって私たちは得ます $a_{1}+a_{2} \ge 2\sqrt{a_{1}a_{2}} \ge 2 $。(ベースケースは証明済み)。

今それが真実であると仮定します $n=k$。私たちは証明します$n=k+1$

$$ S_{k+1} = S_{k} + a_{k+1} \ge k + a_{k+1} $$

もし $a_{k+1} \ge 1$その後、証明が終了します。今なら$0 < a_{k+1} < 1$、ここに誘導の別のアプローチがあります:投稿の上部にある既知の不等式はと同等であることに注意してください $$ a_{k} \ge k/a_{k+1} - (k-1)/a_{k} $$ からすべてを合計 $k=1,2,...,m$ 我々が得る $$ S_{m} \ge m/a_{m+1} $$ これを使用して証明する $n=k+1$$0 < a_{k+1} < 1$、 我々が得る

$$ S_{k+1} = S_{k} + a_{k+1} \ge k/a_{k+1} + a_{k+1} = (k-1)/a_{k+1} + ( a_{k+1} + 1/a_{k+1} )$$

$a_{k+1} + 1/a_{k+1} \ge 2$ それの訳は $f(x) = x + 1/x \ge 2, \:\: 0 < x < 1$(関数は2に収束すると単調に減少します)。だから私たちは持っています

$$ S_{k+1} \ge (k-1)/a_{k+1} + ( a_{k+1} + 1/a_{k+1} ) \ge (k-1) + 2 = k + 1$$

これで問題は解決しました。

  • 未完成のアプローチ:

IMO2015の最終候補リストの問題のヒントは次のとおりです。

AM-GMを使用する$S_{k}$ そして $k a_{k+1}$ 私たちは証明するかもしれません: $S_{k} + k a_{k+1} \ge 2k$ 次に、それらすべてを $k=1,2,....,m$「」

不等式を証明するのは非常に簡単ですが、合計idkの後、他に何をすべきか:

$$ S_{1} + a_{2} \ge 2 $$ $$ S_{2} + 2 a_{3} \ge 2(2) $$ $$ ...$$ $$ S_{m} + (m) a_{m+1} \ge 2(m) $$

その後 $$ S_{1} + ... + S_{m} + a_{2} + ... + (m) a_{m+1} \ge m (m+1) $$

1 answers

3
user10354138 2019-06-09 07:23.

覚えておいてください $S_k=a_1+a_2+\dots+a_k$、 そう $$ S_1+S_2+\dots+S_m=ma_1+(m-1)a_2+\dots+a_m. $$ したがって、あなたは持っています $$ m(a_1+a_2+\dots+a_m+a_{m+1})\geq m(m+1) $$ これは $S_{m+1}\geq m+1$

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