微分方程式に周期解がないような係数の条件

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Aniruddha Deshmukh 2019-05-28 19:54.

型の非線形微分方程式の周期解に関する論文を読んでいました

$$x'' + a \left( t \right) x = \dfrac{b \left( t \right)}{x^{\alpha}} + p \left( t \right)$$

どこ $a, b, p$ 全てです $T -$ 周期関数

存在の証明では、著者は仮説を使用します:-

方程式 $x'' + a\left( t \right) x = 0$ 些細なことはありません $T -$ 定期的な解決策。

この仮説と摂動の結果を使用すると、存在の証明は非常に簡単になります。

しかし、どのような条件で $a$ この仮説は成り立ちますか。

私が今まで理解したのは、 $a$ が一定の場合、次の形式であってはなりません $\left( \dfrac{2n \pi}{T} \right)^2$ それ以外の場合は、次の形式でソリューションを取得します $\cos \left( \dfrac{2n \pi}{T} t \right)$ そして $\sin \left( \dfrac{2n \pi}{T} t \right)$ どっちが $T$ 定期的。

私は質問があります $a$ 不定で周期的です $T$、それでは自明ではない可能性があります $T$ 方程式の周期解 $x'' + a \left( t \right) x = 0$

私はそれをシステムに変換して解決策をチェックしようとしましたが、とても一般的です $a$、私は行列の解を見つけることができず、したがって、システムを周期係数を持つシステムに変換できる周期行列を見つけることができません。

どんな助けでも大歓迎です!

1 answers

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Giuseppe Negro 2019-05-28 21:43.

事実 $\ddot{x}+a(t)x=0$自明でない周期解がない場合でも、一般的には誤りです。$a$は一定ではありません。たとえば、方程式$$ \ddot{x}+e^{it}x=0$$ 解決策があります $$\tag{1} x(t)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n!)^2} e^{int},$$ これは $2\pi$ 定期的。

以下は、周期解の存在を除外する簡単な基準です。

命題。場合$a(t)<0$、その後、 $T>0$ 自明なことはありません $T$-定期的な解決策 $\ddot{x}+a(t)x=0$ クラスで $C^2$

証明。私たちは$x$は実数値ですが、結果は複素数値関数にも当てはまります。仮定$x\in C^2$ です $T$-定期的で解決します $\ddot{x}+a(t)x=0$。そして特に$\ddot{x}x+a(t)x^2=0$。私たちが見つけたこの関係を統合する$$ \int_0^T (\ddot{x}x+a(t)x^2)\, dt=0.$$ 部分積分し、境界項がないことに気づきました。 $x$ です $T$ 定期的: $$ \int_0^T (-|\dot{x}|^2+a(t)x^2)\, dt=0.$$ さて、 $a$、被積分関数は2つの負の項の合計です。したがって、積分の消失は、被積分関数の消失を意味します。私たちはそれを結論付けます$$ x^2=0\, \quad \forall t\in[0, T], $$ あれは、 $x$ 些細なことです。 $\Box$

備考。場合$a(t)\le 0$、その場合、結果は依然として真であり、本質的に同じ証明があります。


付録

(1)を計算する方法は次のとおりです。フロベニウス法のべき級数法のフーリエ級数バージョンです。書く$$ x(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{int}.$$ タスクは係数を見つけることです $c_n$ そのような $x(t)$与えられた微分方程式を解きます。さて、$$ \frac{d^2x}{dt^2}=\sum_{n=-\infty}^\infty -n^2c_n e^{int}, $$ 一方 $$ e^{it}x(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i(n+1)t}=\sum_{n=-\infty}^\infty c_{n-1}e^{int}.$$ だから、方程式 $\ddot{x}+e^{it}x=0$ 次の場合に満足します $$\tag{2} n^2c_n=c_{n-1}, \qquad \forall n\in\mathbb Z.$$ シーケンス $$ c_n=\begin{cases} 0, & n<0, \\ \left(\frac{1}{n!}\right)^2, & n\ge 0, \end{cases}$$ (2)の解決策です。

備考。これは独自のソリューションではありません。それはちょうどあるソリューション。

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