ラグランジュ乗数-制約セットに考慮する必要のある境界点がある場合について混乱している

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me10240 2019-05-27 20:36.

制約を考慮する $$S_1 = \{(x, y) \; |\; \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 \}$$ 拘束面に境界がある場合、ラグランジュ乗数を使用するにはどうすればよいですか?

この場合、ラグランジュ乗数法が最大値/最小値の候補を与えた後、の「境界点」をチェックする必要があります。 $S_1$、すなわち、 $(1,0)$ そして $(0,1)$グローバル最大/最小を取得します。曲線をプロットすると、これら2つが直感的に「境界点」であることがわかります。

ただし、代わりに、制約セットが
$$S_2 = \{ (x, y) \; |\; x^2 + y^2 = 1\},$$次に、この質問では、ある回答は、この制約セットには「境界点」がないことを示しています。制約付き極値:グローバル極値の多変数関数のエンドポイントを見つける方法

私が見る唯一の違いは、絵画的には、一方は閉じた曲線ですが、もう一方はそうではないということです。

しかし、私はそれを結論付けることができる数学的定義が何であるかを知ることができません $S_1$ 境界点があります $(0, 1)$ そして $(1,0)$ そして $S_2$ ありませんか?

Q)ここで使用されている「終点」または「境界点」の定義は何ですか。両方を説明しています。 $S_1$$S_2$

2 answers

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Angela Pretorius 2019-05-27 21:50.

拘束セットが点のセットとして定義されている場合 $g(x,y)=0$、その場合、その「境界点」は、 $\frac{\partial g}{\partial x}$ または $\frac{\partial g}{\partial y}$ は未定義です。

制約セットがであると仮定しましょう $\{x,y||x|+|y|=1\}$、だから私たちはとても最大化したい $f(x,y)$ 制約の対象 $g(x,y)=|x|+|y|-1=0$

これを行うには、ラグランジアンを定義します $\mathcal{L}=f-\lambda g$そして、その導関数がゼロまたは未定義である点を調べます。以来$\frac{\partial g}{\partial x}$ が未定義の場合 $x=0$、それはそれに続く $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}$ で未定義です $x=0$ そしてそのポイント $(0,1)$ そして $(0,-1)$ 調べる必要があります(さらに、他の2つの境界点と $y=0$)。

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Christian Blatter 2019-05-27 22:37.

多くの極値問題では、セット $S\subset{\mathbb R}^n$ いくつかの関数の極値 $f$求められているのは層状です。つまり、内部の点、表面の点、エッジ、頂点など、さまざまな性質の点で構成されています。極値が内部点で想定される場合、方程式の解として前面に出てきます$\nabla f(x)=0$。表面またはエッジの(相対的な)内部点にある極値は、ラグランジュの方法によって、またはこの表面またはエッジのパラメータ化によって前面に表示されます。ここで(相対)内部とは、次のことを指します。ラグランジュの方法は、部分多様体のすべての接線方向(サーフェス、エッジ、$\ldots$)制約によって定義され、その間ずっと $S$。これで、頂点で、その頂点で交わるすべてのサーフェスに禁止された行進方向があります。極値がそのような頂点で取得された場合、すべての頂点を意図的に候補リストに追加した場合にのみ、極値が前面に表示されます。

今あなたの $S_1$は、2つの端点を持つ平面内の円弧です。(後者は、のプレゼンテーションですぐには表示されません$S_1$、しかし、あなたはそれらを見つけました。)候補リストには、ラグランジュの方法によって配信された円弧のすべての相対内部点と2つの境界点が含まれている必要があります。

サークル $S_2\!: \ x^2+y^2=1$ただし、「内部」ポイントしかありません。候補リストには、ラグランジュの方法で見つかったポイントのみが含まれます。

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