しましょう $(x_n)$ 有界シーケンスであり、 $u=\limsup x_n$。Eをの収束部分列の極限のセットとします。 $(x_n)$。どうすれば証明できますか $u \in E$?

2
Spencer Kraisler 2019-05-25 08:00.

私は長い間この問題を試みてきました。最初に私はそのシーケンスを見せようとしました$(u_n)$、 どこ $u_n = \sup_{i \geq n} x_i$、はのサブシーケンスです $(x_n)$。しかし、これはすべてのシーケンスに当てはまるわけではありません。助言がありますか?

1 answers

3
José Carlos Santos 2019-05-25 08:13.

以来$$u-1<u=\limsup_nx_n=\lim_{n\to\infty}\sup_{k\geqslant n}x_k,$$ $\sup_{k\geqslant n}x_k>u-1$ したがって、いくつかあります $n_1\in\mathbb N$ そのような $u-1<x_{n_1}\leqslant u$。さて、$$u-\frac12<u=\limsup_nx_n=\lim_{n\to\infty}\sup_{k\geqslant n}x_k,$$$\sup_{k\geqslant n}x_k>u-\frac12$ したがって、いくつかあります $n_2\in\mathbb N$ そのような $n_2>n_1$ そしてそれ $u-\frac12<x_{n_2}\leqslant u$。今、あなたは同じアプローチによっていくつかがあることを証明します$n_3\in\mathbb N$ そのような $n_3>n_2$ そしてそれ $u-\frac13<x_{n_3}\leqslant u$、 等々。そう、$(x_{n_k})_{k\in\mathbb N}$ のサブシーケンスです $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ そして $\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=u=\limsup_nx_n$

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