ウェッジ製品であることを示す $ dX \wedge dX = 0 $ そして $dY \wedge dY = 0$

3
RukiaKuchiki 2019-05-24 16:18.

それで、最初に私はあなたにいくつかの背景情報を与えたいと思います:

背景情報の始まり

私は現在、ロトカ・ヴォルテラの微分方程式についての要約を読んでいます。

$$ x^{'} = x -xy $$ $$ y^{'} = -y +xy $$

ほとんどの数値解法では、循環的ではなくスパイラル解が得られることがわかっています。したがって、修正されたフォワードオイラー法が循環解につながることを示したいと思います。

ここに:

$$ \frac{x_{n+1}-x_n}{\Delta t} = x_n -x_ny_n $$ $$\frac{y_{n+1}-y_n}{\Delta t} = -y_n -x_{n+1}y_n $$

この変更がスパイラルではないことを示す証拠があります。

背景情報の終わり

今私はいくつかの質問があります:

だから私たちは表記を単純化すると言いましょう $$ X = \Delta tx +x - \Delta txy$$ そして $$ Y = -\Delta ty+ y + \Delta tXy $$ 設定した場所 $X:=x_{n+1}, Y:=y_{n+1}$$x:= x_n$ そして $ y := y_n$ 未知の問題を解決 $X$ そして $Y$

デリバティブを取る: $$ dX = \Delta tdx +dx - \Delta tdxy - \Delta txdy $$ そして $$ dY = -\Delta tdy+ dy + \Delta tdXy + \Delta tXdy $$

やっと行き詰まったところにたどり着きました。

わたしはそれが必要 $ dX \wedge dX = 0 $ そして $ dY \wedge dY = 0 $。ここで私を助けてくれませんか?

1 answers

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Lutz Lehmann 2019-05-24 23:32.

外積の明確な特性は、その非対称性です $$ a∧b = -b∧a, $$ これは、 $$ 2\,a∧a=0. $$

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