評価する $\int \frac{dx}{\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}}$

2
ExtremeRaider 2019-05-23 20:49.

次の積分を評価します。 $$\displaystyle \int\dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}}}$$ どこ $a$ は任意の定数です。

どうすればこれを解決できますか?

編集:あなたがケースを考慮していただければ幸いです$a<0$、しかしこれは私が物理学の問題で遭遇した積分です。検討中$a>0$ 十分であろう。


代用してみました $$x=a\cos \theta$$

そして私は結局:

$$\displaystyle a^{3/2}\int\dfrac{\sqrt {\cos\theta}.\sin\theta.d\theta}{\sqrt{1-\cos\theta}}$$

これをさらに単純化するにはどうすればよいですか?

2 answers

6
auscrypt 2019-05-23 20:59.

平方根項がまだ残っているので、置換すると問題がより複雑になるようです。

代わりに、最初に単純に $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{a}}}$ 分母に2つの分数を単一の分数として書き込み、次に分数を反転して、 $\displaystyle \frac{\sqrt {ax}}{\sqrt {a-x}}$ (仮定 $a>0$)。ここから、置換を行います$x=a \sin^2 \theta$ 収量 $$\int \frac{a \sin \theta}{\sqrt a \cos \theta} 2a \sin \theta \cos \theta d\theta = \int 2a^{\frac{3}{2}} \sin^2 \theta d \theta$$ これで簡単に解決できます。

にとって $a<0$、単にしましょう $b=-a$。取得します$\displaystyle \frac{\sqrt b}{\sqrt {b+x}}$ 被積分関数で、そこから置換 $x=b \tan^2 \theta$ 動作します。

1
Adam Latosiński 2019-05-23 21:10.

書き換えることができます( $0<x<a$) なので $$ \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}} = \int \frac{\sqrt{ax}dx}{\sqrt{a-x}}$$ 置換を使用できます $x = a\sin^2\theta$$0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 取得するため $$ \int \frac{\sqrt{ax}dx}{\sqrt{a-x}} = 2a^\frac32 \int \frac{\sqrt{\sin^2\theta}\sin\theta\cos\theta \,d\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} = 2a^\frac32\int \sin^2\theta\, d\theta$$ にとって $x<a<0$ 置換を使用します $x=a\cosh^2t$$t>0$ そして私達は得る $$ \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}} = \int \frac{\sqrt{(-a)(-x)}dx}{\sqrt{(-x)-(-a)}} = -2(-a)^\frac32\int \cosh^2t\, dt$$ 最後に、 $a<0<x$ を使用しております $x=-a\sinh^2t$$t>0$ 取得するため $$ \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}} = \int \frac{\sqrt{(-a)x}dx}{\sqrt{x+(-a)}} = 2(-a)^\frac32\int \sinh^2 t\, dt$$

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