解決する不動点反復 $y'(t)=y(t), y(0)=1$

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Cornman 2019-05-19 08:51.

初期値問題を解く $y'(t)=y(t)$$y(0)=1$ 間隔で $[0,1]$ 演算子の不動点反復を使用 $T: Y\to Y, (Ty)(t):=y_0+\int_0^t f(s,y(s))\, ds$。で始まる$y_0(t)=0$ 関数級数を与える $(y_k)$

オペレーター $T$ ピカール・リンデロフの定理の証明から取られることになっています。

しかし、ここでフィックスポイントの反復を行うにはどうすればよいですか?とは$f(s,y(s))$

ピカール・リンデロフの証明では、 $y'(t)=f(t,y(t))$。解決したいので$y'(t)=y(t)$ 設定できますか $f(t,y(t))=y(t)$

それで、私はそれをすべて一緒に設定し、反復を開始します:

我々は持っています $y(0)=1$ そして $y_0(t)=0$

$y_1(t)=y(0)+\int_0^t y_0(s)\, ds=1$

$y_2(t)=y(0)+\int_0^t y_1(s)\, ds=t+1$

$y_3(t)=y(0)+\int_0^t y_2(s)\, ds=\frac{1}{2}t^2+t+1$

$y_4(t)=y(0)+\int_0^t y_3(s)\, ds=\frac{1}{6}t^3+\frac12t^2+t+1$

等々。

これにより、実際に合計が得られることがわかります。

$y_n(t)=\sum_{k=0}^n \frac{t^k}{k!}$

どちらが $e^t$ 最終的に。

これは正しく行われますか?間隔はどうして$[0,1]$ ここで考慮に入れますか?

前もって感謝します。

2 answers

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Lutz Lehmann 2019-05-20 06:51.

間隔は、ピカール・リンデロフの標準的な証明に従った結果です。リプシッツ定数はグローバルであるため$L=1$、制限は必要ありません $y$ 方向。

次のステップでは、ピカール反復法が考慮されます。 $C([−ϵ,ϵ])$ ここで、関数空間のマッピングとしてリプシッツ定数があります。 $Lϵ=ϵ$$$ \bigl|P[y_1](t)-P[y_2](t)\bigr|=\left|\int_0^t(y_1(s)-y_2(s))ds\right| \le|t|\,\|y_1-y_2\|\leϵ\,\|y_1-y_2\| $$ それを要求する $ϵ<1$縮約する。したがって、ドメインにはODEのソリューションがあります$[−ϵ,ϵ]$

この一連のソリューションには、ソリューションのドメイン拡張という意味での制限があります。 $(-1,1)$

1
Cameron Buie 2019-05-20 06:29.

あなたはあなたがすることになっていることを正しく解釈しました。興味深いことに、ピカール・リンデロフの定理は、ある間隔でIVPに固有の解が存在することを単純に述べています。$[-\epsilon,\epsilon],$ どこ $\epsilon>0.$ それを考えると(そしてあなたが参照しなければならない定理に関する他の背景がないので)、間隔が(もしあれば)どのくらい重要であるかを確実に言うことはできません $[0,1]$ 解決策以来、持っている可能性があります $t\mapsto e^t$どこでも保持します。コンパクトなドメインを提供することもできます。これは、正しく思い出せば、反復の固定小数点の存在を保証するのに役立つ場合があります。

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