計算する $2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{2}}}}} \mod 2016$

3
jonnyWoox 2019-05-13 08:03.

見つけ方 $2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{2}}}}} \mod 2016$ どこ $2$ 発生します $2016$何回?
私の現在の観察:

$$2^{11} = 2048 \equiv 2048=2016 \equiv 2^5 $$ そして $$ 2^{16} \equiv 2^{11}\cdot 2^5 \equiv 2^{10} $$ そして今、私たちは持っています $2012$ 「2」の残り...

2 answers

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Bill Dubuque 2019-05-13 09:12.

$ \overbrace{2^{\large 2^{\Large 2K}}\!\!\!\bmod 2^{\large 5}\!\cdot 63}^{\large\ \ \ 2^{\Large 2K}\ge5\ \ {\rm by}\ \ K>1 }\, =\, 2^{\large 5}\!\left[\dfrac{{2^{\large \color{#c00}{2^{\Large 2K}}}}}{2^{\large 5}} \bmod\, 63\right] =\, 2^{\large 5}\overbrace{ \left[\,\dfrac{{2^{\large \color{#c00}{4}}}}{2^{\large 5}} \bmod 63\right]}^{\!\!\!\! \dfrac{2^{\large 5}}{2^{\large 6}_{\phantom{1}}}\ \ {\large \equiv}\ \ \dfrac{2^{\large 5}}{1}} =\, \bbox[5px,border:1px solid #c00]{2^{\large 5}[\,2^{\large 5}\,]}\ \ $ 沿って

$\!\!\bmod 63\!:\ 2^{\large\color{#0a0} 6}\!\equiv 1\,$ そう $\!\underbrace{\color{#c00}{2^{\large 2K}}\!\bmod\color{#0a0} 6_{\phantom{1}}}_{\large 2\ \mid\ 2^{\Large 2K}\ {\rm by} \ K>1}\!\!\! = 2\!\!\!\underbrace{\left[\dfrac{2^{\large 2K}}{2}\!\bmod 3\right]}_{ \dfrac{(-1)^{2K}}{-1}\ {\large \equiv}\ \dfrac{1}{-1} {\large}\ {\large \equiv}\ \ \large 2}\!\!\!\!\! =\color{#c00} 4$

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Robert Israel 2019-05-13 08:10.

ヒント: $2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$。個別に検討するmod$2^5$、 モッド $3^2$ およびmod $7$、および中国剰余定理を使用して結合します。

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