次の超幾何級数を近似する関数を提供してください。

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user3108815 2019-05-12 01:33.

規定:誤差項が縮小し、(リーマン)ゼータ関数がない多項式漸近線を優先します。

シリーズ: $${_1F}_2(1;m+\frac{1}{2};m+1;\frac{1}{4}) =\ ?$$

言い換えると、次のようになります。 $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{m!}{(m+k)!(m+\frac{1}{2})_k 4^{k}}$$

下付き文字が $k$ 階乗冪を示します。

理由:の合計式を見つけようとしています $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k}(\zeta(2k)-1)}{(2k)!}$、および上記の超幾何系列は、そうしようとしたことから生じました。助けていただければ幸いです。

2 answers

5
Claude Leibovici 2019-05-12 11:42.

この種の超幾何関数の場合、級数展開と同様に、還元公式は一般に非常に困難です。

しかし、コンピューティングだけで$$f(m)=m\, {_1F}_2(1;m+\frac{1}{2};m+1;\frac{1}{4}) $$に等しい傾きを持つほぼ直線です$1$

無制限の精度で計算する

$$\, {_1F}_2(1;m+\frac{1}{2};m+1;\frac{1}{4}) =1+\frac 1{4m^2}+O\left(\frac 1{m^3}\right) $$

さて、ここを見ると、パラメータを使用して、それを考慮して$\frac 14$ 「小さい」ので、 $$\, {_1F}_2(1;m+\frac{1}{2};m+1;\frac{1}{4}) =1+\frac{1}{4 m^2+6 m+2}+\frac{1}{4 \left(4 m^4+20 m^3+35 m^2+25 m+6\right)}+\cdots$$ これは、シリーズとして拡張すると、 $$1+\frac{1}{4 m^2}-\frac{3}{8 m^3}+O\left(\frac{1}{m^4}\right)$$

にとって $m=10^6$、上記の切り捨てられたシリーズは $$\frac{16000080000144000114000037}{16000080000140000100000024}\approx 1.0000000000002499996250004999992187515000$$ 正確な値は $$ 1.0000000000002499996250004999992187515156$$

より多くの用語が必要な場合は、 $\, {_1F}_2(1;m+\frac{1}{2};m+1;x)$ 周り $x=0$、取得する必要があります $$f(m)=1+\frac{1}{4 m^2}-\frac{3}{8 m^3}+\frac{1}{2 m^4}-\frac{25}{32 m^5}+\frac{97}{64 m^6}-\frac{217}{64 m^7}+\frac{2095}{256 m^8}+O\left(\frac{1}{m^9}\right)$$

1
James Arathoon 2019-05-12 11:56.

これは(数学の助けを借りて)標準的な超幾何級数を置き換えるために有限級数多項式を与える私の予想です。

$$\, _1F_2\left(1;m+\frac{1}{2},m+1;\frac{x^2}{4}\right)=\sum _{k=0}^{\infty } \frac{x^{2 k}}{4^k \prod _{j=1}^k \left(j+m-\frac{1}{2}\right) (j+m)}=\frac{(2 m)! \left(-\sum _{j=0}^{m-1} \left(\frac{(2 m-2)! \,x^{2 j}}{(2 j)!}\right)+(2 m-2)! \cosh (x)\right)}{(2 m-2)!\, x^{2 m}}$$

ただし、上記の式を使用する以外に、この式を元のゼータ合計に関連付ける方法がわかりません。 $m=1$ のみ。

ゼータの合計を自分で書き直そうとすると、

$$S=\sum _{k=1}^{\infty } \frac{ (\zeta (2 k)-1)\,x^{2 k}}{(2 k)!}$$

$$S=\sum _{k=1}^{\infty } \frac{ \zeta (2 k)\,x^{2 k}}{(2 k)!}-\sum _{k=1}^{\infty } \frac{ x^{2 k}}{(2 k)!}$$

$$S=\sum _{k=1}^{\infty } \frac{x^{2 k} } {(2 k)!}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2 k}}-\sum _{k=1}^{\infty } \frac{ x^{2 k}}{(2 k)!}$$

収束二重和の次数を変更すると、

$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty } \frac{x^{2 k} } {(2 k)!} \frac{1}{n^{2 k}}-\sum _{k=1}^{\infty } \frac{ x^{2 k}}{(2 k)!}$$

これは

$$S=\sum _{n=1}^\infty \left(\cosh \left(\frac{x}{n}\right)-1\right) -(\cosh (x)-1)$$

そして最後に $$S=\sum _{n=2}^\infty \left(\cosh \left(\frac{x}{n}\right)-1\right)$$

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