ある点に全射指数写像がある多様体の例

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Nik Pronko 2019-05-11 10:34.

接続されたリーマン多様体の例を見つける必要があります $(M,g)$ とポイント $p \in M$ 指数写像のように $\exp_p : T_pM \to M$ 明確に定義されていますが、全射ではありません。

取る $\mathbb{R}^n$ 結果として得られるスペースは地理的に完全ではないため、ポイントの削除は機能しません。 $\exp_p$ 接空間全体で定義されません $T_p M$

すべてのコンパクトリーマン多様体は全射を持ちます $\exp_p$。だから、私は非コンパクト多様体にのみ焦点を合わせることができます

ここで最初のアイデアは、次のようなサーフェスを作成することです。 $\mathbb{R}^2$ただし、通常は穴の異なる側から2点を接続する測地線が穴を下って(場合によっては表面の別の側に)流れるような穴があります。問題は、そのようなサーフェスが多数あることです。たとえば、1つはパラメトリックに次のように定義できます。$$ r(x,y) = \Big(x,y, \ln\sqrt{x^2 + y^2}\Big) $$(ちなみに、これには「反対側に走る」効果はありません)。しかし、測地線の方程式を明示的に記述して、穴の近くでの動作を分析することは、依然として非常に困難です。

だから、私は多様体または表面の例が必要です。 $\exp_p$ 全射ではないことは、比較的簡単に実行できます。

1 answers

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Jack Lee 2019-05-11 12:02.

そのような例はありません。ホップ・リノーの定理の典型的な証明は、$\exp_p$ のすべてで定義されています $T_pM$ いくつかのための $p\in M$、その後 $M$ 計量的に完全であり、その場合、すべて $q\in M$ に参加することができます $p$ 距離を最小化する測地線によって $\gamma$。設定した場合$v = \gamma'(0)\in T_pM$、その後、 $q = \exp_p(tv)$ いくつかのための $t\in \mathbb R$

リーマン多様体入門(第2版)の結果6.20および6.21を参照してください。

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