しましょう $M$ 次数のエルミート行列である $n\times n$ ランク付き $k (\neq n)$

3
gaurav saini 2019-05-06 08:51.

しましょう $M$ である $n \times n$ ランクの行列 $k (\neq n)$ もし $\lambda \neq 0$ の固有値は $M$ 対応する単位列ベクトル $u$。と$Mu=\lambda u$、それでは、次のうちどれが正しいですか?

  • 1)。 $rank(M-\lambda uu^{*})=k-1$

  • 2)。 $rank(M-\lambda uu^{*})=k$

  • 3)。$rank(M-\lambda uu^{*})=k+1$

  • 4)。$(M-\lambda uu^{*})^{n}$$= M ^ {n}-\ lambda ^ {n} uu ^ {*} $

私が試した解決策

与えられた質問で

ランク$(M- \ lambda uu ^ {*})$$=$ランク$(M-Muu^{*})$

取る $M$ 共通のランクを取得します$[M(I-uu^{*})]$

さらに、進め方がわからない

助けてください!

ありがとうございました

1 answers

2
WhoKnowsWho 2019-06-15 09:55.

しましょう $\lambda_i$ の非ゼロ固有値である $M.$ そして、 $u_i$ 対応する単位固有ベクトルである $\lambda_i$ (選択してください $u_i$ 相互に直交し、仮定する $\lambda_1=\lambda$ そして $u_1=u$。)

次に、のスペクトル分解を記述します。 $M$。それは書き込みです$M=\sum_i \lambda_i u_i u_i^*.$ これはすぐに行列の固有分解を与えます $M-\lambda uu^*$、 あれは、 $$M-\lambda uu^*=\sum_{i=2}^{k} \lambda_i u_iu_i^*.$$

スペクトル分解から、それは明らかです $rank(M-\lambda uu^*)=k-1.$

簡単な計算とその事実 $u_i$ 正規直交である $$(M-\lambda uu^*)^n=M^n -\lambda^n uu^*.$$

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