何のために $n$ です $A_n$ の限界サブグループ $S_n$？

Yanior Weg 2019-05-06 22:05.

何のために $n$ です $A_n$ の限界サブグループ $S_n$？限界サブグループの厳密な定義とそれらのプロパティの簡単な概要は、ここにあります。

私は何を試しましたか：

$A_n$ の特徴です $S_n$ すべてのために $n$ インデックスの唯一のサブグループであるため $2$。したがって、各周辺サブグループが特徴的であるという事実は、私たちが何かを選別するのに役立ちません。

したがって、たとえば、直接電力閉鎖特性など、いくつかのより強力な特性を検討する可能性があります...しかし、私はその方向で成功を収めることができませんでした。

また、 $n = 2$、 $A_n$は自明なサブグループであり、したがって実際には限界です。しかし、それは私たちに何も教えてくれません$n > 2$..。

abstract-algebra group-theory finite-groups symmetric-groups characteristic-subgroups

1 answers

Jeremy Rickard 2019-05-07 00:20.

にとって $n>2$、 $A_n$ 限界ではありません。

一言で言えば、そうだったとしましょう。 $w$。任意の2つの共役要素$x,x'\in S_n$ 同じパリティを持っているので、要素があります $a,b\in A_n$ そのような $x'=ax=xb$。そう$w(x_1,\dots,x_n)$ 活用によって修正されます（の $x_1,\dots,x_n$、したがっての $w(x_1,\dots,w_n)$）の任意の要素によって $S_n$。したがって、$w$ の中心でのみ値を取ることができます $S_n$、これは簡単です $n>2$。

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