アフィン群スキームの定義

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Yuugi 2019-04-11 20:11.

私が理解していることから、アフィン群スキーム $G$ 次のような意味でグループ構造が存在するアフィンスキームである必要があります $$ \phi: G \times_k G \to G $$ 群の射でもあります。

スキームにとって「グループの射」とはどういう意味ですか?

リー群の場合 $G$、それは位相空間がグループの構造を持っていることを意味します、すなわち $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ すべてのために $x,y \in G$、など。

ただし、スキームの場合、そのような定義が参照するポイントの「タイプ」がわからないため、そのような定義は混乱を招きます。

アフィン群スキームは、基礎となる位相空間が群の構造を持つスキームですか?(すなわち、射$\phi$ で定義されています $k$-のポイント $G$

それとも、より一般的ですか、つまりすべてのスキームで $S$、する必要があります $S$-のポイント $G$ グループの構造もありますか?

1 answers

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Alex Youcis 2019-04-12 04:05.

明確にするために、ここでの本当の微妙なポイントは次のとおりです。のために$k$-スキーム $X$ で示しましょう $|X|$基礎となる位相空間。次に、ここでの舞台裏の複雑さはそれです$|X\times_k X|\ne |X|\times |X|$。実際、継続的な全射があります$|X\times_k X|\to |X|\times |X|$ これは、一般に、同型ではありません(演習!)。

だから、地図があれば $\phi:G\times_k G\to G$ そして私達は持っています $(g,h)\in |G|$ 意味をなす方法はありません $\phi(g,h)$-それらを持ち上げてみなければならないでしょう $|G\times_k G|$ と適用 $\phi$ そこにありますが、これは明確に定義されていません(演習!)。

これがそれほど奇妙ではない理由を自分に納得させるために、検討してください $G=\mathrm{GL}_2$。次に、それがあることに注意してください$H=\mathrm{SL}_2$ の閉じたサブスキームです $G$。しましょう$\eta$ のジェネリックポイントを示します $G$ そして $\eta'$ の一般的なポイント $H$。次に、それがあります$k(\eta)=k(x,y,z,w)$ そして $k(\eta')=\mathrm{Frac}(k[x,y,z,w]/(xy-zw-1))$。地図$ \mathrm{Spec}(k(\eta))\hookrightarrow G$ そして $\mathrm{Spec}(k(\eta'))\hookrightarrow G$ 行列に対応 $\begin{pmatrix}x & y\\ z & w\end{pmatrix}$ で解釈 $k(\eta)$ そして $k(\eta')$それぞれ。それらをどのように「乗算」しますか?

重要なのは、 $|G\times_k G|\ne |G|\times |G|$ すべてのための $k$-スキーム $S$ 私たちはそれを持っています $(G\times_k G)(S)=G(S)\times G(S)$。したがって、すべての$k$-スキーム $S$ 地図 $\phi:(G\times_k G)(S)\to G(S)$ 地図です $G(S)\times G(S)\to G(S)$ これは実際には上のグループ構造の乗算です $G(S)$

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