ディラックの分布

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user82261 2019-04-09 03:10.

私は次の宿題の問題を解決しようとしています:

それを示し、\開始{式} 1 + 2 \ sum_ {N = 1} ^ {\ inftyの} \ COS(2 \パイNX)= \ sum_ {k = - \ inftyの} ^ {\ inftyの} \デルタ(XK )、分布の意味での\ end {equation}

くし型関数は、フーリエ級数引数によって左側の式で与えられることを示すことができます。しかし、これを分布引数でどのように示すかはわかりません。助言がありますか?これはHWの問題なので、ヒントを与えてください。

1 answers

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Felix Marin 2019-04-09 14:12.

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

$\ds{\sum_{k = -\infty}^{\infty}\delta\pars{x - k}}$であるにも及び、周期(期間の$\ds{1}$ )。次に、

\begin{align} &\sum_{k = -\infty}^{\infty}\delta\pars{x - k} = \sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}\cos\pars{2\pi nx} \\[1cm] &\ \int_{-1/2}^{1/2}\cos\pars{2\pi nx}\sum_{k = -\infty}^{\infty}\delta\pars{x - k}\dd x \\[2mm] = &\ \sum_{m = 0}^{\infty} a_{m}\underbrace{\int_{-1/2}^{1/2}\cos\pars{2\pi nx}\cos\pars{2\pi mx}\dd x} _{\ds{=\ {1 + \delta_{n0} \over 2}\,\delta_{nm}}} \\[5mm] &\ \underbrace{\int_{-1/2}^{1/2}\cos\pars{2\pi nx}\delta\pars{x}\dd x}_{\ds{=\ 1}} = {1 + \delta_{n0} \over 2}\,a_{n} \\[5mm] &\ \implies a_{n} = 2 - \delta_{n0} \end{align}


$$ \implies \bbx{\sum_{k = -\infty}^{\infty}\delta\pars{x - k} = 1 + 2\sum_{n = 1}^{\infty}\cos\pars{2\pi nx}} $$

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