位相空間の規則性 $(\mathbb R,\tau)$

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Michael Cook 2019-04-07 07:40.

位相空間がそのことを証明しようとしています $(\mathbb R, \tau)$ 定期的です、ここで $\tau$ すべてのサブセットです $U \subseteq \mathbb R$ で開く $\mathbb R$ 通常のトポロジとフォームのすべてのセットを使用して $U \cap \mathbb Q$。ご了承ください$B_{r} (x) = (x -r, x +r)$


私の試み:レッツ$p \in \mathbb Q$$U$ で開く $(\mathbb R,\tau)$$p \in U$ そしてしましょう $V \subseteq \mathbb R $ で開く $\mathbb R$ そのような通常のトポロジーで $\mathbb R\setminus\mathbb Q \subseteq V$。その後、すべての$x \in \mathbb R\setminus \mathbb Q$、 が存在します $\varepsilon_x > 0$ そのような
$$ \bigcup_{x\in \mathbb R\setminus\mathbb Q} B_{\varepsilon_x}(x) \subseteq V.$$

そして、任意の数と実数の間に有理数があるので、 $B_{\varepsilon_x}(x) \cap \mathbb Q \neq \emptyset$ それゆえ $V \cap \mathbb Q \neq \emptyset$

さて、 $U \subset \mathbb R$ その後 $U $ どちらかです $U$ で開いています $\mathbb R$ 通常のトポロジーまたは $U = G \cap Q$ いくつかのための $G$ で開く $\mathbb R$ 通常のトポロジーで

ケース1:もし$U$ で開いています $\mathbb R$ 通常のトポロジでは、 $u \in U$、 が存在します $\varepsilon_u > 0$ そのような $$ \bigcup_{u\in U}B_{\varepsilon_u}(u)\subseteq U,$$

そして、2つの有理数ごとに、無理数があります。つまり、存在します。 $y \in V \cap B_{\varepsilon_u}(u) \neq \emptyset$ いくつかのための $u \in U$

ケース2:もし$U = G \cap \mathbb Q$ のために $u_1, u_2 \in G\cap Q$$u_1 < u_2$、そして存在する $x \in V$ そのような $u_1 \leq x \leq u_2$。また、$x -\varepsilon_x \leq u_1 $ そして $u_2 \leq x +\varepsilon_x $、その後 $U \cap V \neq \emptyset$。そうでなければ、存在します$u_1^\prime, u_2^\prime \in B_{\varepsilon_x} (x)$ そしてまた $U \cap V \neq \emptyset$。そう$(\mathbb R,\tau)$定期的ではありません


私は正しい方向に進んでいますか、それとも明確な誤解がありますか?また、最後の部分は非常に不格好なので、それを合理化する方法についての提案を歓迎します。

1 answers

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Henno Brandsma 2019-04-07 08:11.

確かに $\mathbb{P}$ (不合理)はで閉じられます $\tau$。仮定します$0 \in U$ そして $\mathbb{P} \subseteq V$ と両方が開いています $\tau$、および互いに素です。

なので $V$ 特にユークリッドオープンである不合理なものが含まれています(新しいタイプではありません)。

また、 $0 \in (-\delta, \delta) \cap \mathbb{Q} \subseteq U$ いくつかのための $\delta>0$。しましょう$p$ で不合理になる $(-\delta, \delta)$。次に、いくつかの小さなオープン間隔$I$ 周り $p$ 内部 $(-\delta, \delta)$ 私たちはそれを持っています $I \subseteq V$ (の開放性によって $(-\delta, \delta) \cap V$ユークリッドトポロジー)。しかし、$q$ 内部は有理数です $I$ (存在する)そしてこれ $q \in U \cap V$ それを示す $U$ そして $V$ 結局、矛盾することはできません。

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