製品トポロジーの定義

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Aniruddha Deshmukh 2019-04-06 17:58.

私は最近、製品トポロジーを研究しています。私が参照したほとんどすべての本(いくつかのオンラインノートを含む)は、製品トポロジーを定義するのに「困難」があると述べています。$X \times Y$ 各セットの開集合のデカルト積として $X$ そして $Y$

「難しさ」がどこで発生するのかわかりません。

また、任意の製品について、「投影マップを連続的にしたい」と言ってから、トポロジーの基礎を定義し始める本もあります。なぜそうなのですか?

各トポロジーの開集合の直積を単純に取得してトポロジーを作成しようとした後、トポロジーの公理または投影マップの連続性に問題が発生する例はありますか?

2 answers

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0XLR 2019-04-07 02:15.

参考までに、セットでトポロジを定義する2つの方法を要約します。 $X = \prod_{a \in A}X_a$ (どこ $A$ は任意のセットであり、それぞれ $X_a$ 位相空間です):

  1. 考えられるすべてのデカルト積のコレクションを基礎としてください $\prod_{a \in A}U_a$各トポロジーの任意の開集合の。確認できるように、これは実際にトポロジの基礎であり、それによって生成されたトポロジは、上のボックストポロジと呼ばれます。$X$
  2. 代わりに、デカルト積のコレクションを基礎として使用してください $\prod_{a \in A}U_a$ 各トポロジのオープンセットの数 $U_a = X_a$ 有限数を除いて $U_{a_1}, \ldots, U_{a_n}$それらの。これは、通常の製品トポロジと呼ばれるトポロジの有効な基礎でもあります。$X$。基礎は、「投影図を連続的にしたい」という本のように定義することもできます。

インデックスセットの場合、2つのオプションは同じトポロジを生成することに注意してください $A$有限です。さて、2つの選択肢のうち、最初の選択肢がより単純な選択肢であるように思われます。実際、それはすぐに問題がなく、あなたの質問に答えているようには見えません

各トポロジーの開集合の直積を単純に取得してトポロジーを作成しようとした後、トポロジーの公理または投影マップの連続性に問題が発生する例はありますか?

ボックストポロジは完全に有効なトポロジであるため、トポロジの公理に問題は発生しません。実際、投影マップはボックストポロジでも連続しています。では、なぜ標準トポロジが$X$ ボックストポロジとして定義されていませんか?

その理由は、ボックストポロジがトポロジプロパティを適切に保持しないためです。たとえば、次のステートメントを考えてみましょう。

  • それぞれの場合 $X_a$ は連結空間であり、 $X = \prod_{a \in A}X_a$ 連結空間でもあります。

これは常に当てはまります $X$上記の選択肢のリストでは、製品トポロジ、つまりオプション2が与えられています。ただし、この自然な結果は次の場合に失敗する可能性があります$X$一見より自然なボックストポロジが与えられます。どうして?これが反例です。

可算無限積を考えてみましょう $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ ボックストポロジ(および $\mathbb{R}$標準のユークリッドトポロジーを持っています)。各$\mathbb{R}$ 確かに接続されています $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ではありません!空でないセット$B$ すべての有界要素の(すなわち $\mathbf{x} = \langle\mathbf{x}_n\rangle_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ 座標付き $\mathbf{x}_n$ いくつかの本物に囲まれています $M > 0$ そのようです: $|\mathbf{x}_n| < M$)および空でないセット $B^c$ すべての無制限の要素の個別 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$。これは、ボックストポロジでは、両方が$B$ そして $B^c$ で開いています $\mathbb{R}^\mathbb{N}$。確かに、$\mathbf{b} \in B$ で囲まれた要素です $M > 0$、その後のオープンネイバーフッド $\mathbf{b}$ $U_b = \prod_{n \in \mathbb{N}}(\mathbf{b}_n - 1, \mathbf{b}_n + 1)$ 要素があります $\mathbf{u}$ によって囲まれています $M + 1$ なので $|\mathbf{u}_n| \leq |\mathbf{u}_n - \mathbf{b}_n| + |\mathbf{b}_n| < 1 + M$。そう$U_b \subseteq B$ そして、私たちはそれを結論付けます $B$開いています。同様に、あなたはそれを示すことができます$B^c$開いています。セットがセットであるため、この問題は製品トポロジでは発生しません。$U_b = \prod_{n \in \mathbb{N}}(\mathbf{b}_n - 1, \mathbf{b}_n + 1)$ すべてのオープン間隔として、製品トポロジでオープンではありません $(\mathbf{b}_n - 1, \mathbf{b}_n + 1) \neq \mathbb{R}$

次に、このステートメントを例にとってみましょう。

  • 各コンポーネントが機能する場合 $f_a : Y \to X_a$ スペース間の連続性がある場合、積関数 $\langle f_a \rangle_{a \in A} : Y \to \prod_{a \in A}X_a$ マッピング $y \mapsto \langle f_a(y) \rangle_{a \in A}$ 継続的です。

繰り返しますが、これは常に当てはまります $X$ 製品トポロジが与えられ、ボックストポロジで失敗する可能性があります。

もう一度考えてください $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ ボックストポロジで $I : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^\mathbb{N}$ 各コンポーネント機能がである製品マップである $\text{id}(x) = x$ から $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$。次に、$I(x) = \langle x \rangle_{n \in \mathbb{N}} = \langle x, x, x, \ldots \rangle$。明らかに、恒等関数は連続的です。しかしながら、$I$連続的ではありません。たとえば、開集合の逆像を考えてみましょう。$\prod_{n \in \mathbb{N}}(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})$$\mathbb{R}^\mathbb{N}$。これだけ$\{0\}$ なぜなら $I(x) = \langle x, x, x, \ldots \rangle \in \prod_{n \in \mathbb{N}}(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})$、その後 $-\frac{1}{n} < x < \frac{1}{n}$ すべてのために $n \in \mathbb{N}$、これは次の場合にのみ可能です $x = 0$。だが$\{0\}$ で開いていません $\mathbb{R}$ そして $I$継続することはできません。繰り返しますが、この問題は次の場合には発生しません。$\mathbb{R}^\mathbb{N}$ セットのため、通常の製品トポロジーを持っています $\prod_{n \in \mathbb{N}}(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})$ すべてのオープン間隔として、製品トポロジでオープンではありません $(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \neq \mathbb{R}$

ボックストポロジのこれらの失敗は、その単純さのように見えますが、実際には他のトポロジプロパティとうまく調和しないいくつかの奇妙な特性を持っていることを示しています。このため、ボックストポロジは、製品セットの数が有限でない限り、製品セットの標準トポロジとして選択されることはありません。代わりに、通常、上記で例示した反例のソースとしてトポロジで予約されています。

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William Elliot 2019-04-06 19:09.

難しさは無限の製品です。

製品トポロジーは、予測を連続的にする最小のトポロジーとして定義されます。
コンパクトな空間の製品がコンパクトであるという優れた特性を持っています。

ボックストポロジー、オープンセットは因子のオープンセットのすべての積であり、積の最小トポロジーではなく、投影は連続的ですが、コンパクト空間の積はコンパクトではありません。

製品のトポロジーを定義する方法はまだ他にもありますが、それらは有限の製品と同等です。

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