フビニの定理は罪と二重積分であり、 $e^{-x}$

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BMac 2019-03-31 08:47.

計算する必要があります $\int_{E} \frac{y}{x} e^{-x} \sin x d \mu$、 どこ $\mu$ ルベーグ測度の積です $\mathbb{R}$ それ自体で、そして $E = \{(x, y): 0 \leq y \leq \sqrt{x} \}$。したがって、二重積分として、次のようになります。

$$\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{y}{x} e^{-x}\sin x\, dy\, dx.$$

フビニの定理を適用して積分の順序を変更できるようにしたいのですが、そのためには、被積分関数に役立つ境界が必要です。たとえば、私がそれを行うことができるいくつかの驚くべき方法はありますか?$e^{-x}$関数?そして、私がそれをしたら、$\frac{\sin x}{x}$ に行く $0$ なので $x$無限大になります。どういうわけか私を助けてくれませんか?

1 answers

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marty cohen 2019-03-31 09:30.

$$\int_0^\infty \int_0^{\sqrt{x}} \frac{y}{x} e^{-x}\sin x\, dy\, dx.$$

以来 $y \le \sqrt{x},\ y^2 \le x$ そう $x \ge y^2.$

そう

\begin{align} I &=\int_0^\infty \int_0^{\sqrt{x}} \frac{y}{x} e^{-x}\sin x\, dy\, dx\\[6pt] &=\int_0^\infty \int_{y^2}^\infty \frac{y}{x} e^{-x}\sin x\, dx\, dy \end{align}

ここからどこへ行くのかわからない。

元の問題を見て、

$\begin{array}\\ I &=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\sqrt{x}} \dfrac{y}{x} e^{-x}\sin x\, dy\, dx\\ &=\int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-x}\sin x}{x} \int_{0}^{\sqrt{x}}y \, dy\, dx\\ &=\int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-x}\sin x}{x}\dfrac{x}{2} dx\\ &=\dfrac12\int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin xdx\\ &=\dfrac12(-\dfrac12) ( e^{-x} (\sin(x) + \cos(x)))|_0^{\infty}\\ &=\dfrac14\\ \end{array} $

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