有界変動が収束するシーケンスを証明します。

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roman 2019-03-28 16:45.

次の場合、シーケンスには有界変動があると言われます。 $$ \exists M \in\Bbb R: \sigma_n = |x_2 - x_1| + |x_3 - x_2| + \cdots + |x_{n+1} - x_n| \le M,\ \forall n\in\Bbb N $$ 変動の有界性が収束を意味することを証明する $\{x_n\}$

この質問は、ここでの私の前の質問に基づいています。ここでは、「収束は変動の限界を意味する」ことを証明する必要がありました。今、私は反対のことをしたいと思います。

まず、注意してください $\sigma_n \ge 0,\ \forall n\in \Bbb N$。シーケンスは単調収束定理によっても収束します。$\sigma_n$ 単調に増加しています: $$ \sigma_n \le M,\ \sigma_{n+1} \ge \sigma_n \implies \exists \lim_{n\to\infty}\sigma_n = L $$

次に $\sigma_n$ コーシーの基準を満たしているので、 $p \in\Bbb N$、 そのような: $$ \lim_{n\to\infty}(\sigma_{n+p} - \sigma_n) = 0 $$

違いを考慮してください: $$ \sigma_{n+p} - \sigma_n = \sum_{k=n+1}^{n+p}|x_k - x_{k-1}| $$

両側の制限を書く: $$ \lim_{n\to\infty}(\sigma_{n+p} - \sigma_n) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=n+1}^{n+p}|x_k - x_{k-1}| = 0 $$

そしてそれは、すべての項が何があっても合計が0になる傾向がある場合にのみ可能です $p$ 私たちが選ぶ、つまり: $$ \exists \lim_{n\to\infty} |x_{n+p} - x_{n}| = 0 $$

したがって、 $x_n$ コーシーであるため、収束します。

証明の確認をお願いしたいのですが。上記が無効である場合、適切な証拠は何でしょうか?

1 answers

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Severin Schraven 2019-03-29 00:07.

「そして、それは合計のすべての項が0になる傾向がある場合にのみ可能です...」まで、あなたの議論は問題ありません。足りないステップがあります(おそらくそれはあなたにとってすでに明らかでしたが、あなたはただ書くのを忘れていました)。つまり、三角不等式によって、$$ \vert x_{n+p} - x_n \vert \leq \sum_{k=n+1}^{n+p} \vert x_k - x_{k-1} \vert =\sigma_{n+p} - \sigma_n. $$ 次に、あなたはそれを結論付けることができます $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ コーシーであり、したがって収束します。

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