準線形偏微分方程式のコーシー問題 $u_t+uu_x=1$

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user463280 2019-03-23 19:31.

私は次のコーシーIVPを解決しています: $$u_t+uu_x=1,$$ $x$ は本物、$t>0$、初期条件は $$u(t^2/4,t)=t/2$$ 矛盾する結果が見つかりました:-与えられた初期曲線を次のようにパラメータ化する $x=s^2/4$$t=s$$u=s/2$。特性方程式は$dx/u=dt/1=du/1$、これらを解決し、初期条件を使用して、私は次のような解決策を得ました $x=u^2/2+s^2/8$$t=u+s/2$、排除 $s$ 私は得た $2u^2-2tu+t^2-2x=0$ 与える $2u=t+\sqrt{4x-t^2}$$2u=t-\sqrt{4x-t^2}$。私の質問は、存在しないという条件が満たされているにもかかわらず、つまり、$P/x'(s)=Q/t'(s)$ 等しくない $R/u'(s)$ 初期データでは、一意でないソリューションが存在します。この状況を解決するにはどうすればよいですか?

3 answers

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JJacquelin 2019-03-24 06:22.

私はあなたの結果に同意します。これは以下で確認されます。

$$u_t+uu_x=1$$ ODEのChapit-Lagrangeシステム: $\frac{dt}{1}=\frac{dx}{u}=\frac{du}{1}=ds$

最初の特性方程式は $\frac{dt}{1}=\frac{du}{1}$$$t-u=c_1$$ 2番目の特性方程式は $\frac{dx}{u}=\frac{du}{1}$$$2x-u^2=c_2$$ 陰的方程式の形での偏微分方程式の一般解 $c_2=F(c_1)$ は: $$2x-u^2=F(t-u)$$ どこ $F$ は任意の関数であり、初期条件に従って決定されます。

状態 : $u(\frac{t^2}{4},t)=\frac{t}{2}$ $$2(\frac{t^2}{4})-(\frac{t}{2})^2=F\left(t-\frac{t}{2}\right)$$ $$\frac{t^2}{4}=F\left(\frac{t}{2}\right)$$ 関数 $F$ 決定されます: $\quad F(X)=X^2$

これは $F$ 存在し、ユニークです。

この関数を上記の一般的な解決策に入れます: $$2x-u^2=(t-u)^2$$ $$2u^2-2tu+t^2-2x=0$$ これは、指定された条件に適合する偏微分方程式の解です。

このソリューションは存在し、 $F$ 存在し、ユニークです。

私たちはそれをフォームに書くことができます: $$u=\frac{t}{2}\pm\sqrt{x-\frac14 t^2}$$このフォームに書き込んでも、2つの解決策があるという意味ではありません。以前と同じように、まだ1つのソリューションしかありません。

これは円の方程式のようなものです $x^2+y^2=R^2$ フォームに書かれている $y=\pm\sqrt{R^2-x^2}$。2つの半円からなる1つの円がまだあります。

純粋に数学的な観点では、結果は次のようになります。ソリューションが存在し、一意です。

しかし、偏微分方程式が物理的な問題の数学的モデルである場合、結論は異なる可能性があります。記載されている変数の使用$t$「時間」を考えさせます。もしそうなら、私たちは物理学に入るために数学の外に出ます。その場合、いくつかの暗黙の条件が現れる可能性があります。たとえば、用語が実数である(たとえば、複素根がない)などです。または、たとえば、常に増加する時間や安定性に関する要件などの他の制約。

問題のコンテキスト(PDEがモデル化することになっているものなど)を知らなければ、解決策の存在について議論することはできません。言い換えると、上記の数学的解決策が質問に対する便利な答えであるかどうかです。

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EditPiAf 2019-04-04 03:51.

使用特性の方法を、1への書き込み

  • $\frac{\text d t}{\text d s}=1$。貸します$t(0) = t_0$ 与える $t = s + t_0$
  • $\frac{\text d u}{\text d s}=1$。貸します$u(0) = \frac{1}{2} t_0$ 与える $u = s + \frac{1}{2} t_0$
  • $\frac{\text d x}{\text d s}=u$。貸します$x(0) = \frac{1}{4} {t_0}^2$ 与える $x = \frac{1}{2}s^2 + \frac{1}{2} t_0 s + \frac{1}{4} {t_0}^2$

パラメータ $s$ 注入することによって排除されます $s = t-t_0$ 式で $x(s)$特性曲線の。後者は$x = \frac{1}{4}\big( t^2 + (t-t_0)^2\big)$、これは次のように反転されます $t_0 = t \pm \sqrt{4x - t^2}$。特性曲線の方程式を次の式に挿入すると、$t_0$、 我々が得る $t_0 = t \pm |t-t_0|$。したがって、トップサイン($+$)時間に対応 $t\leq t_0$、下の記号($-$)時間に対応 $t\geq t_0$。の曲線$x$-$t$ 平面は、のいくつかの値について以下に示されています $t_0$ (青い線は、データが適用される境界を示します)。

たとえば、ポイントを考えてみましょう $(x,t) = \big({5}/{32}, -{1}/{4}\big)$$x$-$t$飛行機。の表現から$t_0$、値を見つけます $t_0 = {1}/{2}$ これは $t<t_0$、および値 $t_0 = -1$ これは $t>t_0$。したがって、2つの特性曲線がこの点を通過しています。最初のものは値を運びます$u = t - t_0/2 = -1/2$。2番目のものは値を運びます$u = t - t_0/2 = 1/4$。両方のソリューション$$ u(x,t) = \tfrac{1}{2} \big( t \mp \sqrt{4x - t^2} \big) ,\qquad 4x - t^2\geq 0 $$同時に存在します。特性から推定される古典的な解は、地域のいたるところで二値化されます$4x - t^2 > 0$。この問題は、存在と独自性という意味では適切ではありません。

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doraemonpaul 2019-03-23 19:56.

の方法に従ってください http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics#Example:

$\dfrac{dt}{ds}=1$ 、させて $t(0)=0$ 、 我々は持っています $t=s$

$\dfrac{du}{ds}=1$ 、させて $u(0)=u_0$ 、 我々は持っています $u=s+u_0=t+u_0$

$\dfrac{dx}{ds}=u=s+u_0$ 、させて $x(0)=f(u_0)$ 、 我々は持っています $x=\dfrac{s^2}{2}+u_0s+f(u_0)=\dfrac{t^2}{2}+(u-t)t+f(u-t)=ut-\dfrac{t^2}{2}+f(u-t)$ 、すなわち $u=t+F\left(x-ut+\dfrac{t^2}{2}\right)$

$u\left(\dfrac{t^2}{4},t\right)=\dfrac{t}{2}$

$\dfrac{t}{2}=t+F\left(\dfrac{t^2}{4}\right)$

$F\left(\dfrac{t^2}{4}\right)=-\dfrac{t}{2}$

$F(t)=\mp\sqrt t$

$\therefore u=t\mp\sqrt{x-ut+\dfrac{t^2}{2}}$

$(u-t)^2=x-ut+\dfrac{t^2}{2}$

$u^2-2ut+t^2=x-ut+\dfrac{t^2}{2}$

$u^2-ut=x-\dfrac{t^2}{2}$

$u^2-ut+\dfrac{t^2}{4}=x-\dfrac{t^2}{4}$

$\left(u-\dfrac{t}{2}\right)^2=x-\dfrac{t^2}{4}$

$u=\dfrac{t}{2}\pm\sqrt{x-\dfrac{t^2}{4}}$

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