機能について $\mathrm{Gi}_{s}^{p,q}(x)=\sum\limits_{n\geq0}\frac{x^{pn+q}}{(pn+q)^s}$

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clathratus 2019-03-22 18:10.

私は機能に出くわしました $$\mathrm{Gi}_s^{p,q}(x)=\sum_{n\geq0}\frac{x^{pn+q}}{(pn+q)^s}$$ そして、どこでそれらについてもっと学ぶことができるか知りたいです。

これらの関数は、特殊なケースとして他の特定の特殊関数を含んでいるため、興味深いものです。

たとえば、多重対数: $$\mathrm{Li}_s(x)=\mathrm{Gi}_s^{1,1}(x)$$ および逆正接積分: $$\mathrm{Ti}_s(x)=-i\cdot\mathrm{Gi}_s^{2,1}(ix)$$ と興味深い関係 $$\mathrm{Gi}_s^{p,p}(x)=\frac1{p^s}\mathrm{Li}_s(x^p)$$ フルヴィッツのゼータ関数と同様に: $$\mathrm{Gi}_s^{1,q}(1)=\zeta(s,q)$$ 同様に、レルヒの超越との関係: $$\Phi(z,s,\alpha)=\frac1{z^\alpha}\mathrm{Gi}_s^{1,\alpha}(z)$$

私がこれまでに見つけたものは以下に詳述されています。


超幾何表現

私たちは注意するかもしれません $$\mathrm{Gi}_s^{p,q}(x)=x^q\sum_{n\geq0}\frac{\Gamma(n+1)}{(pn+q)^s}\frac{x^{pn}}{n!}$$ 設定 $$t_n=\frac{\Gamma(n+1)}{(pn+q)^s}$$ 私たちはそれを持っています $$\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{(n+1)(n+q/p)^s}{(n+q/p+1)^s}$$ だから私たちはそれを持っています $$\mathrm{Gi}_s^{p,q}(x)=x^q\,_{s+1}F_{s}\left(1,\frac{q}{p},...,\frac{q}{p};1+\frac{q}{p},...,1+\frac{q}{p};x^p\right)$$

再発

気付くかもしれません $$\begin{align} \frac{\partial}{\partial x}\mathrm{Gi}_s^{p,q}(x)&=\sum_{n\geq0}\frac{x^{pn+q-1}}{(pn+q)^{s-1}}\\ &=\frac1x\sum_{n\geq0}\frac{x^{pn+q}}{(pn+q)^{s-1}}\\ &=\frac1x\mathrm{Gi}_{s-1}^{p,q}(x)\\ \end{align}$$ だから私たちはもちろん持っています $\mathrm{Li}$スタイルの再発 $$\mathrm{Gi}_s^{p,q}(x)=\int_0^x \frac{\mathrm{Gi}_{s-1}^{p,q}(t)}{t}\mathrm dt$$ 簡単に表示できるのベースケース付き $$\mathrm{Gi}_0^{p,q}(x)=\frac{x^q}{1-x^p}$$ からの再帰的定義 $\mathrm{Ti}$ そして $\mathrm{Li}$ フォローしてください。


機能も検討する場合があります $$\mathrm{Fi}_s^{p,q}(x)=\sum_{n\geq0}(-1)^n\frac{x^{pn+q}}{(pn+q)^s}$$ そして定義することによって $\lambda_p=\exp\frac{i\pi}{p}$、 我々は持っています $$\mathrm{Gi}_s^{p,q}(\lambda_p x)=\lambda_{p}^{q}\mathrm{Fi}_s^{p,q}(x)$$

2 answers

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reuns 2019-03-22 20:26.
  • ために $|z| < 1$ そして $t \in (-1,\infty)$ $$g(s,t,z) = \sum_{n=1}^\infty z^n (n+t)^{-s}$$ ために $|t|< 1$ 二項級数から $g(s,t,z) =\sum_{l=0}^\infty {-s \choose k} t^{-s-k} Li_{s+k}(z)$

  • ために $a/q \in \Bbb{Q}$ $$q^{-s} z^{a/q} g(s,a/q,z) = \sum_{n=1}^\infty (z^{1/q})^{nq+a} (nq+a)^{-s}=\frac1q \sum_{k=1}^q e^{-2i \pi ak/q} Li_s(z^{1/q}e^{2i \pi k/q})$$

  • ために $z \not \in [0,1)$ そして $\Re(s) > 0$ $$\Gamma(s)g(s,t,z) = \int_0^\infty x^{s-1}f(x,t,z)dx, \qquad f(x,t,z)= \frac{e^{-xt}}{e^x/z-1}$$ 周回積分を与える $\int_C x^{s-1}f(x,t,z)dx = (1-e^{2i \pi s}) \Gamma(s) g(s,t,z)$ どこ $C$ ブランチカットを囲みます $[0,\infty)$ 留数定理を適用して関数方程式を得ることができます。

  • ために $\Re(s) > -K$

$$\Gamma(s)g(s,t,z) = \sum_{k=0}^K \frac{(-1)^k}{k!} \frac{\partial_x^k f(0,t,z)}{s+k}+ \int_0^\infty x^{s-1}(f(x,t,z)- 1_{x < 1} \sum_{k=0}^K \frac{\partial_x^k f(0,t,z)}{k!}) dx$$ 特定の値を取得する $g(-k,t,z) = \frac{(-1)^k}{k!}\partial_x^k f(0,t,z)$

  • ために $ \Re(x) > 0$ シータシリーズをしましょう $$\Theta(x,z,t) = \sum_n e^{2i \pi nz} e^{-\pi (n+t)^2 x} = x^{-1/2}\Theta(1/x,-t,-z)$$ (ポアソン和公式)

  • ために $t \in (0,1), u \in \Bbb{R}$ $$\int_0^\infty x^{s/2-1} \Theta(x,u,t)dx = \pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\sum_n |n+t|^{-s} e^{2i \pi nu} = g(s,t-1,e^{2i \pi u})+g(s,-t,e^{-2i \pi u})$$ $$ = \int_0^\infty x^{(1-s)/2-1}\Theta(x,-t,-u)dx=g(s,-u-1,e^{-2i \pi t})+g(s,u,e^{2i \pi t})$$

次に、分析接続によってすべてを拡張できます

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clathratus 2019-04-30 16:39.

私は美しい積分を見つけました $\mathrm{Gi}_s^{p,q}(z)$ いつ $q/p\in\Bbb Q^+$

まず、次のことに注意してください(を参照) https://en.wikipedia.org/wiki/Lerch_zeta_function#Integral_representations) ために $\text{Re }a>0$$$\Phi(z,s,a)=\frac1{2a^s}+\frac{\log(1/z)}{z^a}\Gamma(1-s;a\log(1/z))\\ +\frac2{a^{s-1}}\int_0^\infty \frac{\sin\left[s\arctan(t)-ta\log(1/z)\right]}{(1+t^2)^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}dt$$ どこ $$\Gamma(s;x)=\int_x^\infty t^{s-1}e^{-t}dt$$ 不完全ガンマ関数です。

それから私達はそれを見る $$\mathrm{Gi}_s^{p,q}(z)=p^{-s}\mathrm{Gi}_s^{1,q/p}(z^p)$$ だから私たちはそれを持っています $$\mathrm{Gi}_s^{p,q}(z)=\frac{z^q}{p^s}\Phi(z^p,s,q/p)$$

それゆえ $$\mathrm{Gi}_s^{p,q}(z)=\frac{z^{q}}{2q^s}+p^{-s}\log(z^{-p})\Gamma[1-s;q\log(z^{-p})/p]\\ +\frac{2z^q}{q^{s-1}p}\int_0^\infty \frac{\sin\left[s\arctan(t)-tq\log(z^{-p})/p\right]}{(1+t^2)^{s/2}(e^{2\pi qt/p}-1)}dt$$

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