サブセットからの距離関数の導関数をゼロにすることはできますか?

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Asaf Shachar 2019-03-21 04:37.

しましょう $M$ 滑らかなリーマン多様体になり、 $S \subseteq M$コンパクト。しましょう$d_S$ からの距離関数である $S$。しましょう$p \in M \setminus{S}$、そしてそれを仮定します $d_S$ で微分可能です $p$。それは可能ですか$d(d_S)_p=0$?(できる$p$ の重要なポイントになる $d_S$?)

からの長さを最小化するパスが存在する場合 $p$$S$、その後 $d(d_S)_p\neq 0$。このような長さを最小化するパスが存在しない場合はどうなりますか?

確かに、 $\alpha(t)$ からの単位速度の長さを最小化するパスです $p$ 最も近いポイントに $s(p)\in S$、私たちは持っている必要があります $d_S(\alpha(t))=d_S(p)-t$。で差別化$t=0$、 我々が得る $d(d_S)_p(\dot \alpha(0))=-1$、 そう $d(d_S)_p \neq 0$

編集:

答えは一般的にポジティブだと思います。しましょう$p \in M\setminus{S}$。上記のように、単位速度パスが常に存在することを証明するだけで十分です。$\alpha(t)$、満足 $d_S(\alpha(t)) = d_S(p)-t$ 十分に小さい場合 $t$

そのような道は常に存在しなければならないと私は確信しています。しかし、その証拠https://math.stackexchange.com/a/3156860/104576少し面倒です。よりクリーンな証拠、または表示するための別のアプローチを見ていただければ幸いです$d(d_S)_p \neq 0$

1 answers

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Asaf Shachar 2019-03-22 04:00.

単位速度経路が常に存在することを証明します $\alpha(t)$、満足 $d_S(\alpha(t)) = d_S(p)-t$ 十分に小さい場合 $t$

まず、すべてのユニット速度パスについて注意してください $\alpha(t)$ から始まる $p$、 我々は持っています $$d_S(\alpha(t)) \ge d_S(p)-t. \tag{1}$$ 確かに、 $d_S$ です $1$-リプシッツ、したがって $ d_S(p)-d_S(\alpha(t)) \le d(p,\alpha(t)) \le L(\alpha|_{[0,t]})=t$

さあ、 $B_{\delta}(p)$ 周りの通常のボールになります $p$、 そのような $d_S(p)>\delta$、そして $S_{\delta}=\partial B_{\delta}(p)$。しましょう$x_0 \in S_{\delta}$ あるポイントになります $d_S(\cdot)$ で最小値を取得します $S_{\delta}$。しましょう$\alpha(t)$ からの(一意の)単位速度測地線である $p$$x_0$ 中にある $B_{\delta}(p)$

2つのことを証明します。

  1. $\alpha(t)$ からの距離を最小にします $S$ 球の内側 $S_t$ すべてのための $t<\delta$、すなわち $d_S(\cdot)$ で最小値を取得します $S_t$$\alpha(t)$

  2. 使用する $(1)$、私たちはそれを推測します $d_S(\alpha(t)) = d_S(p)-t$ 十分に小さい場合 $t$

1の証明:

矛盾により、いくつか存在すると仮定します $t< \delta$、および $x_0 \in S_t$ そのような $d_S(x_0)< d_S(\alpha(t))$。しましょう$\beta$ からのパスになります $x_0$ ある程度まで $\tilde s \in S$ そのような $L(\beta) < d_S(\alpha(t))$。仮定したので$d_S(p) > \delta$$\beta$ 交差する必要があります $S_{\delta}$ ある時点で $y_0$。今、私たちは持っています

$$ L(\beta:x_0 \to y_0)+L(\beta:y_0 \to \tilde s)=L(\beta:x_0 \to \tilde s)=L(\beta)< d_S(\alpha(t)), \tag{2}$$

そして

$$ \delta-t+d_S(\alpha(\delta))\le\delta-t+d_S(y_0) \le d(x_0,y_0)+d(y_0,\tilde s) \le L(\beta:x_0 \to y_0)+L(\beta:y_0 \to \tilde s). \tag{3}$$

組み合わせる $(2)$ そして $(3)$、私たちは推測します

$$ \delta-t+d_S(\alpha(\delta)) < d_S(\alpha(t)) \Rightarrow \delta-t < d_S(\alpha(t))-d_S(\alpha(\delta)),$$

矛盾する $$ d_S(\alpha(t))-d_S(\alpha(\delta)) \le d(\alpha(t),\alpha(\delta))\le L(\alpha|_{[t,\delta]})=\delta-t.$$

の証明 $2$

沿って $(1)$ 私達はことを知っています $\alpha(t)$ からの距離を最小にします $S$ 球の内側 $S_t$ すべてのための $t<\delta$、すなわち $d_S(\cdot)$ で最小値を取得します $S_t$$\alpha(t)$。私たちはそれを証明します$d_S(\alpha(t)) = d_S(p)-t$。それを証明するだけで十分です$d_S(\alpha(t)) \le d_S(p)-t$。そうでなければ仮定します。その後$d_S(\alpha(t)) > d_S(p)-t$、 そう $d_S(p) <d_S(\alpha(t))+t$。したがって、パスがあります$\beta$、から $p$ いくつかに $\tilde s \in S$ そのような $L(\beta)< d_S(\alpha(t))+t$$\beta$ 交差する必要があります $S_{t}$ ある時点で $y_0$。(ここでは使用します$t< \delta<d_S(p)$)。したがって、$$ t+L(\beta:y_0 \to \tilde s)\le L(\beta:p \to y_0)+L(\beta:y_0 \to \tilde s)=L(\beta)< d_S(\alpha(t))+t.$$ だから、私たちは得ました $$ d_S(y_0) \le d(y_0,\tilde s)\le L(\beta:y_0 \to \tilde s) < d_S(\alpha(t)),$$ そして $y_0,\alpha(t) $ 両方が $S_t(p)$ その事実と矛盾する $\alpha(t)$ 距離最小化器でした $S$ この領域で。

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