計算方法 $\gcd(d^{\large 671}\! +\! 1, d^{\large 610}\! −\!1),\ d = \gcd(51^{\large 610}\! +\! 1, 51^{\large 671}\! −\!1)$

2
rj123 2019-03-20 02:49.

しましょう $(a,b)$ の最大公約数を示します $a$ そして $b$

$ \ d = (51^{\large 610}\! + 1,\, 51^{\large 671}\! −1)$

そして $\ \ x \,=\, (d^{\large 671} + 1,\, \ d^{\large 610} −1 )$

見つける $\ X = (x\bmod 10)$

使った $y=51^{61}$ 削減する $d$$d=(y^{10}+1,y^{11}-1) = (y^{10}+1,y+1)$

私は今どうすればいい?

3 answers

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fleablood 2019-03-23 09:38.

最初の注意: $\gcd(a^m \pm 1, a+1)=\gcd((a^{m}\pm 1)-(a^{m}+a^{m-1}),a+1) = \gcd(a^{m-1}\mp 1, a+1)$

そして誘導を介して $\gcd(a^{m}+1, a+1) = \gcd(2, a+1)$ もし $m$ 均等です。 $\gcd(a^{m} - 1,a+1) =\gcd(0, a+1) = a+1$ もし $m$均等です。(そして逆の結果は$m$ 奇妙です)。

だから私たちが $a= 51^{61}$

次に $\gcd(51^{610} + 1, 51^{671} - 1)=$

$\gcd(a^{11}-1,a^{10} + 1)=$

$\gcd((a^{11} -1)-(a^{11} + a), a^{10} + 1) =$

$\gcd(a^{10} + 1, a+ 1) = 2$

..。

しましょう $b = 2^{61}$ など

$\gcd(2^{671}+1, 2^{610} -1)= \gcd (b^{11} + 1, b^{10} -1)=$

$\gcd((b^{11}+1)-(b^{11}-b), b^{10}-1)=\gcd(b^{10}-1,b+1)=b+1= 2^{61}+1$

0
Bill Dubuque 2019-03-20 04:41.

こことここの証明のように、互いに素な力に還元してから、$\rm\color{#90f}{Euclidean}$ アルゴリズム。

$a = 51^{\large 61}\Rightarrow\, d = (a^{\large 11}-1,\,a^{\large 10}+1) = (a\!+\!1,2) = 2\,$ 沿って $\,\bf T1\,$ 以下、 $\ s = -1$

$a\, =\, d^{\large 61}\Rightarrow\,x = (a^{\large 11}+1,\,a^{\large 10}-1) =\, a\!+\!1 = d^{\large 61}\!+1 = 2^{\large 61}\!+1\,$ 沿って $\,\bf T1,\,$ $\,s = 1$

${\bf T1}\,\ (s,a)\! =\!1\, \Rightarrow\, (a^{\large 11}\!+s,\,a^{\large 10}-s)\, = (a\!+\!1,\,1\!-\!s).\ $ 証明: $\,\rm\color{#90f}{using}$ $\ (x,y) = (x,\, y\bmod x)$

$\begin{align} (\color{#0a0}{a^{\large 11}}\!+s,\,{a^{\large 10}}\!-s) &= (\color{#0a0}{s}(\color{#0a0} a\!+\!1),\, {a^{\large 10}}\!-s)\ \ \ \,{\rm by}\ \ \bmod a^{\large 10}\!-s\!:\,\ a^{\large 10}\!\equiv s\,\Rightarrow\, \color{#0a0}{a^{\large 11}}\!\equiv a^{\large 10}a \equiv \color{#0a0}{sa} \\[.2em] &= \ \ \ \, (a\!+\!1,\ \,\color{#c00}{a^{\large 10}}\!-s)\ \ \ \ {\rm by}\,\ \ (s,\,a^{\large 10}\!-s) = (s,a^{\large 10})=1, \ \, {\rm by}\,\ \ (s,a) = 1\\[.2em] &=\ \ \ \ (a\!+\!1,\ \ \ \color{#c00}1\, -\, s) \ \ \ \ {\rm by}\ \ \bmod a+1\!:\ \ \ \ a\equiv -1\,\Rightarrow\, \color{#c00}{a^{10}}\equiv (-1)^{10}\equiv\color{#c00} 1 \\[.2em] \end{align}$

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sirous 2019-03-22 09:45.

$$51^{671}=51^{610}\times 51^{61}-1=(51^{610}+1)51^{61}-(51^{61}+1)$$

$$(51^{61}, 51^{61}+1)=1$$

だから私たちは書くかもしれません:

$$d=(51^{610}+1, 51^{671}-1)=(51^{610}+1, 51^{61}+1)$$

$$51^{61}+1=52 k=2\times 26 k$$

$$51^{610}+1=52 k_1 +2=2(26 k_1+1)$$

$$(26, 26k_1+1)=1$$

しかしながら $k$ そして $26 k_1+1$公約数があるかもしれません。仮定すると$d=2$ 次に、次のようになります。

$$x=(2^{671}+1, 2^{610}-1) $$

$$2^{671}+1=(2^{610}-1)2^{61} +2^{61}+1$$

$(2^{61},2^{61}+1)=1$、したがって:

$$x= 2^{61}+1$$

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