単位群が同型である数体を見つける $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$

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AlephNull 2019-03-16 10:29.

単位群が同型である数体を見つける $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.$

この問題を解決するために、ディリクレの単数定理を使用しようとしています。それは次のように述べています$K$ 署名の数値フィールドです $(r,s)$ そして $\mu_K$ の統一の根のセットです $K$、次にユニットグループ $\mathcal{O}_K^{\times}$ 整数環の同型 $\mu_K \times \mathbb{Z}^{r+s−1}$アーベル群として。だから私は欲しいと思います$r+s-1=1,$ または $r+s=2$。この力$(r,s)=(0,2)$ 少なくとも1つの実際の埋め込みがある場合は $\mu_K$ ただ $\{\pm 1\}$ そうではない $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$

したがって、私は学位の数体が必要です $4$ 4つの複雑な埋め込みがあり、その1の根のセットは $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$。円分体$\mathbb{Q}(\zeta_5)$ それ以上があるので動作しません $4$ 統一の根のセットの要素(および $\mathbb{Q}(\zeta_4)$ 学位がないので動かない $4$)。私はそれがなければならないと思います$\mathbb{Q}(\alpha)$ ここで、の最小多項式 $\alpha$ 学位を持っている $4$しかし、私は例を見つけることができませんでした。ヒントをいただければ幸いです。

1 answers

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Furlo Roth 2019-03-19 03:19.

もうすぐです!以来$K$ 次数のねじれ要素があります $4$、 を含む $\zeta_4$ したがって、 $\mathbf{Q}(\zeta_4)$。ディリクレの単数定理は、$K$ 学位でなければなりません $4$ したがって、の二次拡大 $\mathbf{Q}(\zeta_4)$

今それを仮定します $K$ある任意のの二次拡大$\mathbf{Q}(\zeta_4) = \mathbf{Q}(\sqrt{-1})$。の署名$K$ です $(0,2)$ など $K$ユニットランクは1です。また、$K$ 要素を持っています $\zeta_4$ 注文の $4$。残っているのは見つけることだけです$K$余分なねじれはありません。しかし、数体のねじれ部分群は常に循環的であり、$m$統一の根、または $4n$この場合の1の冪根は、すでに $4$団結の根。だからあなたはただそれを確認する必要があります

$$\mathbf{Q}(\zeta_{4n}) \not\subset K$$

のために $n > 1$。の次数$\mathbf{Q}(\zeta_{4n})$ は(オイラーの $\varphi$ 関数) $\varphi(4n)$。これは$> 4$ にとって $n \ge 4$。したがって、答えは次のとおりです。

$K$ の任意の2次拡張にすることができます $\mathbf{Q}(\zeta_4)$ 等しくない $\mathbf{Q}(\zeta_8)$ または $\mathbf{Q}(\zeta_{12})$

以来 $\mathbf{Q}(\zeta_8) = \mathbf{Q}(\sqrt{-1},\sqrt{2}) = \mathbf{Q}(\sqrt{-1},\sqrt{-2})$ そして $\mathbf{Q}(\zeta_{12}) = \mathbf{Q}(\sqrt{-1},\sqrt{-3}) = \mathbf{Q}(\sqrt{-1},\sqrt{2})$、あなたはそのような多くを見つけることができます $K$、 例えば $K = \mathbf{Q}(\sqrt{-1},\sqrt{d})$ 平方フリーの場合 $\pm d > 3$。これらは唯一の例ではありません---他は正確にすべての二次拡張です$K/\mathbf{Q}(\sqrt{-1})$ ガロア以外の人は $\mathbf{Q}$ といった $\mathbf{Q}(i,\sqrt{3 + 4 i})$

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