のすべての解決策を見つけることができますか $2^{n-1}\equiv k\mod n$?

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Peter 2019-03-15 22:53.

仮定します$\ k\ge 2\ $ は正の整数です。

すべての正の整数を見つけることができますか $\ n>1\ $$$2^{n-1}\equiv k\mod n$$

私はまだ解決策が常にあることを知りました $\ k>2\ $ そして $\ k-1\ $ の力ではありません $\ 2\ $。この場合、$\ k\ $ 素因数が奇数 $\ q\ $、私たちが持っている $\ 2^{q-1}\equiv k\mod q\ $ 望んだ通りに。

私は特に興味があります $\ k=5\ $、解決策があり、 $\ k=11\ $、他に解決策があります $\ n=5\ $。最後に、$\ k=3\ $、です $\ 10669\ $ 唯一の解決策は?

2 answers

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sirous 2019-03-16 16:12.

明らかにnは素数にはなり得ません。私は次の実験をしました:

$2^{4-1}=8=2\times 4 +0$

$2^{6-1}=32=5\times 6 +2$

$2^{8-1}=128=16\times 8+0$

$2^{9-1}=256=28\times 9 +4$

$2^{10-1}=512=51\times 10+2$

$2^{12-1}=2042=170\times 12 +8$

$2^{14-1}=8192=585\times 14 +2$

$2^{15-1}=16384=1092\times 15 +4$

$2^{16-1}=32768=2048\times 16 +0$

$2^{17-1}=65536=3855\times 17 +1$

$2^{18-1}=131072=7281\times 18+14$

$2^{33-1} ≡4 \mod 33$

$2^{27-1} ≡13 \mod 27$

A:もし $n=2^t$ その後 $k=0$

B:もし $n-1=2^t$ そして $t=2s$ その後 $k=1$

C:もし $n-1=2^t$ そして $t=2s+1$ その後 $k=2^u$

D:その他 $k=2^v$ または $k=k_1$; $k_1∈N$

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Max Alekseyev 2019-04-14 10:02.

2 ^ n mod n OEISWikiページからリンクされているOEISのシーケンスを確認してください。特に、あなたはそれを見つけるでしょう

  • にとって $k=5$、A128123の奇数項によって与えられる多くの既知の解決策があります。
  • にとって $k=3$、解はA128122の奇数項で与えられ、10669は以下の唯一のものです$10^{16}$

追加。全体として、私はほとんどの整数に対して無限に多くの解決策があると信じています$k$ (のようないくつかのまれなケースを除いて $k=-1$)。しかし、それらすべてを取得するための簡単な公式が存在するかどうかは疑問です。私たちが期待できるのは、すべてのソリューションを特定の範囲以下にすることです。

実用的な観点から、解決策の検索をスピードアップする可能性のあるいくつかのトリックがあります。たとえば、JoeCrumpの2 ^ n mod n = cWebページを参照してください。

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