固定ベクトルに直交する固有ベクトルを持つ行列のセットのトポロジープロパティ。

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user43210 2019-03-15 04:06.

仮定します $x \in \mathbb C^n$ は固定ベクトルです$.$ セットを定義する $$\begin{align*} \mathcal E = \{A \in M_n(\mathbb C): \exists \text{ an eigen-pair }(\lambda, v) \text{ of } A, \text{i.e., }Av = \lambda v \text{ such that } v \perp x \}. \end{align*}$$

私はかどうかを見ようとしています $\mathcal E$開いているか閉じている。このセットは閉じているように感じますが、それを証明することはできません。

1 answers

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Ben Grossmann 2019-03-15 11:58.

セットが閉じていることを証明するスケッチを次に示します。まず、セットについて考えます。 $$ \mathcal E_0 = \{A \in M_n(\Bbb C): \exists v \text{ such that } v \perp x \text{ and } Av = 0\}. $$ このセットが次のように閉じていることがわかります。 $K = \{y : \|y\| = 1, y \perp x\}$。定義する$g: M_n(\Bbb C) \to \Bbb R$ 沿って $$ g(A) = \min_{y \in K} \|Ay\|. $$ それを示す $g$連続関数です。その結果$\mathcal E_0 = g^{-1}(0)$閉集合です。さて、結果として次のように結論付けることができます $$ \mathcal E = \{A \in M_n(\Bbb C): \exists \lambda \text{ such that } A - \lambda I \in \mathcal E_0\} $$ 閉集合です。これがそうであることの1つの証拠は次のようになります:定義する$h:M_n(\Bbb C) \to \Bbb R$ 沿って $$ h(A) = \min_{\lambda \in \Bbb C} d(A - \lambda I, \mathcal E_0) $$ ここで定義する $d(P,\mathcal E_0) = \min\{\|P - Q\|: {Q \in \mathcal E_0}\}$。なぜなら$h$ 継続的です、 $\mathcal E = h^{-1}(0)$ 閉じています。

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