ODEソリューションの級数展開

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Noname 2019-03-15 10:32.

のODEを検討してください $y(t) \in \mathbb R^n$ 正方行列付き $A$ および双線形演算子 $H: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n$、私は次の解決策のための閉じた形のシリーズを探しています:

$$y'(t) = A y(t) -H(y(t),y(t))$$ 初期状態で $y(0)=y_0$

明らかに、

$$y(t) = e^{At} y_0 -\int_0^t e^{A(t-s)} H(y(s),y(s)) \ ds.$$

明らかに、この式を最後の項に再び置き換えることができます。

$$y(t) = e^{At} y_0 -\int_0^t e^{As} H(y_0,y(s)) \ ds-\int_0^t \int_0^s e^{A(t-s)} e^{A(s-s_1)} H(H(y(s_1),y(s_1)),y(s)) \ ds_1 \ ds .$$

原則として、この解の閉形式の無限級数式を見つけることができるはずです。 $$y(t) =\sum_{n=0}^{\infty} a_n(y_0)$$$\vert a_n(y_0) \vert \lesssim \vert y_0 \vert^n$ しかし、私はそれを書き留める方法を本当に見つけることができません。

誰か知っていますか?

編集:何が必要かについての説明については、以下のLutzLによるコメントを参照してください。

1 answers

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Lutz Lehmann 2019-05-01 02:10.

のべき級数係数 $y(t)=\sum_ky_kt^k$ 再帰に従ってください $$ (k+1)y_{k+1}=Ay_k-\sum_{j=0}^kH(y_j,y_{k-j}).\tag1 $$ それらのサイズは、再帰的な不等式によって制限されます $$ (k+1)\|y_{k+1}\| \le \|A\|\,\|y_k\|+\sum_{j=0}^k\|H\|\,\|y_j\|\,\|y_{k-j}\| \tag2 $$誘導された演算子とテンソルの規範で。これをスカラー方程式と比較してください$$ u'=au+hu^2,~~a=\|A\|,~h=\|H\|,~u(t)=\sum_ku_kt^k\tag3 $$ 正確な解決策があります $$ au(t)^{-1}+h=(au_0^{-1}+h)e^{-at}\implies u(t)=\frac{u_0e^{at}}{a(a-hu_0(e^{at}-1))}\tag4 $$ のべき級数係数 $u(t)=\sum_ku_kt^k$ 再帰に従ってください $$ (k+1)u_{k+1}=au_k+h\sum_{j=0}^ku_ju_{k-j}.\tag5 $$

この再帰(5)を微分方程式から生じる再帰的ノルム不等式(2)と比較すると、次のように結論付けられます。 $\|y_j\|\le u_j$ にとって $j=0,..,k$、そしてまた $\|y_{k+1}\|\le u_{k+1}$、つまり、これはすべてに当てはまります $k$ もし $u_0=\|y_0\|$

の正確な解決策 $u$ にポールがあります $t=\rho=\frac1a\ln(1+\frac{a}{hu_0})\le\frac1{hu_0}$。さらに、それがわかります$u_k$ の多項式です $u_0$ 程度の $k+1$

収束半径に関する一般的な理論から、 $r<\rho$ 定数があります $C_r$ そのため $\|y_k\|\le u_k\le C_rr^{-k-1}$。にとって$r=\frac12\rho$ たとえば、 $$\|y_k\|\le C(2\|H\|\,\|y_0\|)^{k+1}.$$

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