確率 7(b)、秒 28、MunkresのTOPOLOGY、第2版:コンパクト距離空間の縮小する自己地図には固有の不動点があります

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Saaqib Mahmood 2019-03-08 17:51.

これがProbです。7、秒 28、James R. Munkresによる本Topology、第2版:

しましょう $(X, d)$距離空間である。場合$f$ 条件を満たす $$ d\big( f(x), f(y) \big) < d(x, y) $$ すべてのために $x, y \in X$$x \neq y$、その後 $f$縮小マップと呼ばれます。番号がある場合$\alpha < 1$ そのような $$ d \big( f(x), f(y) \big) \leq \alpha d(x, y) $$ すべてのために $x, y \in X$、その後 $f$収縮と呼ばれます。固定小数点$f$ ポイントです $x$ そのような $f(x) = x$

(a) $f$ 縮約であり、 $X$ コンパクトです、ショー $f$固有の固定小数点があります。[ヒント:定義$f^1 = f$ そして $f^{n+1} = f \circ f^n$。交差点を考えてください$A$ セットの $A_n = f^n(X)$。]

(b)より一般的に $f$ 縮小する地図であり、 $X$ コンパクトで、 $f$固有の固定小数点があります。[ヒント:レッツを$A$以前と同じように。与えられた$x \in A$、選択 $x_n$ そのため $x = f^{n+1}\left(x_n\right)$。場合$a$ シーケンスの一部のサブシーケンスの制限です $y_n = f^n \left( x_n \right)$、それを示す $a \in A$ そして $f(a) = x$。結論$A = f(A)$、 そのため $\mathrm{diam}\, A = 0$。]

(c)しましょう $X = [0, 1]$。それを示す$f(x) = x - x^2/2$ マップ $X$$X$収縮ではない縮小マップです。[ヒント:微積分の平均値の定理を使用してください。]

(d)(a)の結果は、 $X$ は、次のような完全な距離空間です。 $\mathbb{R}$; \ Secの演習を参照してください。43.(b)の結果は次のことをしません:地図が$f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ によって与えられた $f(x) = \left[ x + \left( x^2 + 1 \right)^{1/2} \right]/2$ は縮小ではなく、不動点のない縮小マップです。

これがProbに関する私のMSEの投稿です。7(a)。

ここでは、Probの解決策のみを試みます。7(b)。

私の試み

確率 7(b):

ここでは、この非常に問題に別の数学SEポストがあります。ただし、ここでは、Munkresが提供するヒントを使用して証明を試みます。

まず、縮小するマップを示します $f$ 均一に連続している $X$。実数が与えられた$\varepsilon > 0$、実数を選択しましょう $\delta$ そのため $0 < \delta \leq \varepsilon$。その後、すべてのために$x, y \in X$ そのために $d(x, y) < \delta$、取得します $$ d \big( f(x), f(y) \big) \leq d( x, y) < \delta \leq \varepsilon.$$ 以来 $\varepsilon > 0$ 恣意的だったので、 $f$ 均一に連続している $X$

しましょう $i_X \colon X \to X$ 上のアイデンティティマップを示します $X$、 によって定義されます $$ i_X (x) \colon= x \ \mbox{ for all } \ x \in X. \tag{Def. 0} $$ さあ、入れましょう $$ f^n \colon= \begin{cases} i_X \ & \mbox{ if } n = 0, \\ f \circ f^{n-1} \ & \mbox{ if } n = 1, 2, 3, \ldots. \end{cases} \tag{Def. 1} $$ 次に、入れましょう $$ A_n \colon= \begin{cases} X \ & \mbox{ if } n = 0, \\ f^n(X) \ & \mbox{ if } n = 1, 2, 3, \ldots. \end{cases} \tag{Def. 2} $$ 次に、各自然数について、 $n$$$ A_n = f \left( A_{n-1} \right). \tag{0} $$

今マップとして $i_X$ そして $f$ どちらもコンパクト空間の連続マッピングです $X$ それ自体に、すべてのマップもそうです $f^n$ 上記の(定義1)で、したがってすべてのセット $A_n$ 上記の(定義2)のすべてのコンパクト部分空間は $X$; さらにそれ以来$X$、は距離空間であり、ハウスドルフ空間であり、各セット以降 $A_n$ のコンパクト部分空間です $X$、各セット $A_n$ も閉鎖されています $X$。そして、各セットとして$A_n$ で閉じられます $X$、これらのセットの共通部分も同様です。入れましょう$$ A \colon= \bigcap_{n=0}^\infty A_n. \tag{Def. 3}$$ その後、 $A$ コンパクトな空間に閉じたセットです $X$、 そう $A$ コンパクトでもあります(の部分空間として $X$)。

なので $f$ セットのマッピングです $X$ それ自体に、だから私たちは持っています $f(X) \subset X$、 あれは、 $$A_1 \subset A_0.$$ ここで、ある自然数について、 $k$、 我々は持っています $$ A_k \subset A_{k-1}. $$ 次に、上記の(0)を使用すると、次のことがわかります。 $$ A_{k+1} = f \left( A_k \right) \subset f \left( A_{k-1} \right) = A_k.$$ したがって、誘導によって、次のように結論付けることができます。 $$ A_n \subset A_{n-1} \ \mbox{ for } n = 1, 2, 3, \ldots. \tag{1} $$

したがって、 $\left\{ \ A_n \ \colon \ n = 0, 1, 2, \ldots \ \right\}$ コンパクト空間内の空でない閉集合のネストされたシーケンスです $X$; したがって、それらの交点は空ではありません。つまり、設定されます。$A$ 上記(定義3)のは空ではありません。

私たちは今それを示しています $\mathrm{diam}\, X$有限です。しましょう$p$ の任意のポイントになります $X$。その後、コレクション$$ \left\{ \ B_d \left(p, N \right) \ \colon \ N \in \mathbb{N} \ \right\},$$ どこ $$ B_d \left( p; N \right) \colon= \{ \ x \in X \ \colon \ d(x, p) < N \ \},$$ コンパクトな空間のオープンカバーを形成します $X$; したがって、このコレクションのいくつかの有限のサブコレクションもカバーします$X$; つまり、有限の数の自然数が存在します$N_1, \ldots, N_n$ そのようなコレクション $$ \left\{ \ B_d \left(p, N_1 \right), \ldots, B_d \left(p, N_n \right) \ \right\}$$ オープンボールカバーの $X$。しましょう$$ M \colon= \max\left\{ \ N_1, \ldots, N_n \ \right\}. $$ 次に、 $$ X = B_d (p, M).$$ したがって、任意のポイントについて $x, y \in X$、 我々は持っています $$ d(x, y) \leq d(x, p) + d(p, y) < M + M = 2M.$$ そう $$ \mathrm{diam}\, X \leq 2M < +\infty. $$ したがって、私たちはそれを示しました $$ \mathrm{diam}\, X < +\infty. \tag{2} $$ したがって、上記の(定義3)および(1)から、次のように結論付けることもできます。 $$ \mathrm{diam}\, A \leq \mathrm{diam}\, A_n \leq \mathrm{diam}\, A_{n-1} < +\infty \ \mbox{ for } n = 1, 2, 3, \ldots. \tag{3} $$

今、仮定します $x \in A$。次に$x$ 各セットにあります $A_n = f^n(X)$、だからポイントが存在する $x_n \in X$ そのような $x = f^{n+1}\left(x_n\right)$ それぞれについて $n = 1, 2, 3, \ldots$; 入れましょう$$ y_n \colon= f^n\left(x_n\right) \ \mbox{ for each } n = 1, 2, 3, \ldots. \tag{Def. 4} $$ 次に $\left( y_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ コンパクト距離空間のシーケンスであること $(X, d)$Munkresの定理28.2により、収束部分列があります。しましょう$\left( y_{\varphi(n)} \right)_{n \in \mathbb{N}}$厳密に増加する関数のこのサブシーケンスになります$\varphi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$、そして $a$ このシーケンスの限界になります。

次は何?ここからどのように進めますか?

PS:

したがって、それぞれについて $n \in \mathbb{N}$、 我々は持っています $$ y_n = f^n \left( x_n \right)$$ そしてまた $$ x = f^{n+1} \left( x_n \right) = f \left( f^n \left( x_n \right) \right) = f\left( y_n \right). $$ など $$ f \left( y_n \right) = x. $$ したがって、それぞれについて、 $n \in \mathbb{N}$、 我々は持っています $$ f \left( y_{\varphi(n)} \right) = x, $$ したがって、 $$ \lim_{n \to \infty} f \left( y_{\varphi(n)} \right) = x. \tag{4*} $$ しかし、 $f$ 継続的であり、 $$ \lim_{n \to \infty} y_{\varphi(n)} = a, $$ だから私たちも持っている必要があります $$ \lim_{n \to \infty} f \left( y_{\varphi(n)} \right) = f(a). \tag{4**} $$しかし、距離空間における数列の極限は独特です。したがって、(4 *)と(4 **)から次のようになります。$$ f(a) = x, \tag{4} $$ そしてとして $x \in A$ そして $a \in X$、したがって、(4)から次のようになります。 $x \in f(A)$、これは $$ A \subset f(A). \tag{5*} $$

一方、 $p \in f(A)$、それから私達は持っています $p = f(q)$ ある時点で $q \in A$。しかし、$$ A = \cap_{n = 0}^\infty A_n, $$ そしてとして $q \in A$、 そう $q \in A_n$ それゆえ $p = f(q) \in f \left( A_n \right) = A_{n+1}$ それぞれについて $n = 0, 1, 2, 3, \ldots$。あれは、$p \in A_n$ それぞれについて $n = 1, 2, 3, \ldots$。だが$p \in X = A_0$もちろん。したがって、次のように結論付けることができます。$p \in \cap_{n=0}^\infty A_n = A$、それはそれが続く $$ f(A) \subset A. \tag{5**} $$ (5 *)と(5 **)から $$ f(A) = A. \tag{5} $$

私たちは注意します $$ \mathrm{diam}\, A = \sup \big\{ \, d(x, y) \, \colon \, x, y\in A \, \big\}. \tag{Def. 4} $$ さらに(3)から $$ 0 \leq \mathrm{diam}\, A < +\infty. $$

今それを仮定します $\mathrm{diam}\, A > 0$。次に、(定義4)を考慮して、任意の実数について、次のように結論付けることができます。$\varepsilon > 0$、ポイントを見つけることができます $x_\varepsilon, y_\varepsilon \in A$ そのような $$ \mathrm{diam}\, A \geq d \left( x_\varepsilon, y_\varepsilon \right) > \mathrm{diam}\, A - \varepsilon. $$ だからそれぞれのために $n \in \mathbb{N}$、ポイントを見つけることができます $a_n, b_n \in A$ そのような $$ \mathrm{diam}\, A \geq d \left( a_n, b_n \right) > \mathrm{diam}\, A - \frac1n. \tag{6} $$ したがって、シーケンスを取得します $\left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ そして $\left( b_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ セットで $A$

今として $A$ コンパクトで $\left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ のシーケンスです $A$、したがってサブシーケンスが存在します $\left( a_{\phi(n)} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ このシーケンスの、ここで $\phi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$厳密に増加する関数であり、$\left( a_{\phi(n)} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ ある点に収束する $a$$A$

そして、として $\left( b_{\phi(n)} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ のシーケンスです $A$ そしてとして $A$ コンパクトなので、サブシーケンスが存在します $\left( b_{\psi(n)} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ ある点に収束するこのシーケンスの $b$$A$。ここに$\psi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$は、次のように厳密に増加する関数です。$$ \mathrm{range}\, \psi \subset \mathrm{range}\, \phi. $$ 次に $\left( a_{\psi(n)} \right)_{n \in \mathbb{N} }$ のサブシーケンスです $\left( a_{\phi(n)} \right)_{n \in \mathbb{N} }$、そして後者が点に収束するにつれて $a \in A$、したがって前者も収束します $a$

今として $$ \lim_{n \to \infty} a_{\psi(n)} = a \ \mbox{ and } \ \lim_{n \to \infty} b_{\psi(n)} = b, $$ 結論を出すことができます $$ \lim_{n \to \infty} d \left( a_{\psi(n)}, b_{\psi(n)} \right) = d(a, b). $$ しかし、(6)から $$ \mathrm{diam}\, A \geq d \left( a_{\psi(n)}, b_{\psi(n)} \right) > \mathrm{diam}\, A - \frac{1}{\psi(n)} \geq \mathrm{diam}\, A - \frac{1}{n}, $$ と制限を取ると $n \to \infty$ 私達は手に入れました $$ \mathrm{diam}\, A \geq d(a, b) \geq \mathrm{diam}\, A, $$ など $$ d(a, b) = \mathrm{diam}\, A > 0 \tag{7} $$

(7)が成り立つことを示す別の方法は次のとおりです。

仮定します $\mathrm{diam} \, A > 0$

なので $A$ コンパクトなので、デカルト積もコンパクトです $A \times A$、マンクレの定理26.7による。

メトリック関数として $d \colon X \to X \to \mathbb{R}$ は連続マップなので、制限もあります $d|_{A\times A}$、およびとして $A \times A$ コンパクトなので地図 $d|_{A\times A}$ 最大の要素を持っています、すなわち $\mathrm{diam}\, A$もちろん。つまり、ポイントが存在します$a, b \in A$ そのような $$ d(a, b) = \mathrm{\diam}\, A > 0. \tag{7} $$ したがって、 $$ a \neq b. \tag{8} . $$

しかし、 $A = f(A)$ 上記(5)およびとして $a, b \in A$、それで私たちはそれを結論付けることができます $a, b \in f(A)$ また、それは $$ a = f\left( a^* \right) \ \mbox{ and } \ b = f\left( b^* \right) $$ いくつかの点で $a^*, b^* \in A$、およびとして $a \neq b$ 上記の(8)により、 $a^* \neq b^*$、 それ以来 $f$ は縮小するマップであり、これは上記の(7)とともに、 $$ \mathrm{diam}\, A = d(a, b) = d \big( f \left( a^* \right), f \left( b^* \right) \big) < d \left( a^*, b^* \right). $$ しかしその一方で、 $a^*, b^* \in A$、だから私たちは持っている必要があります $$ d \left( a^*, b^* \right) \leq \mathrm{diam}\, A. $$したがって、矛盾があります。したがって、私たちの仮定$\mathrm{diam}\, A > 0$間違っている。したがって、$$ \mathrm{diam}\, A = 0. \tag{9} $$ したがって、 $A$その中には1つのポイントしかありません。しましょう$p$その点になります。その後、$p \in A$、 そう $f(p) \in f(A)$。しかし、(5)までに$f(A) = A$。だから私たちは持っている必要があります$f(p) \in A$ また、そして以来 $A$ 要素が1つしかない $p$したがって、次のように結論付けることができます。 $$ f(p) = p. $$ したがって、 $f$ 不動点があります $p \in A \subset X$

最後に $p$ そして $q$縮小する地図の任意の2つの異なる固定点でした$f$、それから私達は得るでしょう $$ d(p, q) = d \big( f(p), f(q) \big) < d(p, q), $$矛盾。したがって、$f$ に固有の不動点があります $X$

私の証明は今正しいですか?それはすべての点で完全で明確ですか?または、論理や明快さのギャップはありますか?

1 answers

1
Paul Frost 2019-03-10 01:12.

我々は持っています $y_{\varphi(n)} \in A_{\varphi(n)} \subset A_{\varphi(m)}$ にとって $n \ge m$。したがって、$a = \lim y_{\varphi(n)} \in A_{\varphi(m)}$ なぜなら $A_{\varphi(m)}$閉じています。これは、$a \in \bigcap_m A_{\varphi(m)} = A$。以来$f$ 継続的であり、 $y_{\varphi(n)} \to a$、 我々が得る $f(y_{\varphi(n)}) \to f(a)$。しかし、シーケンス$f(y_{\varphi(n)}) = f^{\varphi(n)+1}(x_{\varphi(n)}) = x$ は一定であり、結論 $f(a) = x$

これは示しています $A \subset f(A)$

と仮定する $d = \text{diam} A > 0$。次に、シーケンスを見つけます$(x_n), (y_n)$$A$ そのような $d(x_n,y_n) \to d$。以来$A$ コンパクトであるため、両方のシーケンスが点に収束すると仮定してwlogすることができます $x, y \in A$。我々が得る$d(x,y) = d$。選択$a, b \in A$ そのような $f(a) = x, f(b) = y$。次に$d = d(x,y) = d(f(a),f(b)) < d(a,b)$、これはの定義と矛盾します $d$

したがって、 $\text{diam} A = 0$ これは次の場合にのみ可能です $A$ 単一のポイントが含まれています $a$。これはの不動点です$f$。以来$A$ のすべての固定小数点が簡単に含まれます $f$、完了です。

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