素数の間隔に必要な制限がある他の未解決の問題はどれですか?

2
Noname 2019-03-02 05:30.

ゴールドバッハ、ルジャンドル、グリムの予想など、未解決の問題は誰もが知っています。

ゴールドバッハの必要条件は次のとおりです。間に素数が存在する $n$ そして $2n-2$、つまり素数の間隔はに制限されます $n-3$

Legendreには次の必要条件があります:素数の比率が決して超えない $\left(\frac{n+2}{n} \right)^2$

Grimm'sには、次の必要条件があります(無限に頻繁に):素数のギャップの長さが、ギャップを進める素数より少ない素数の数を超えることはありません。

私の質問は:他にどのような未解決の問題がありますか、素数の間隔のサイズに必要な条件がありますか?

1 answers

3
Martin Hansen 2019-03-14 09:27.

私は双子素数予想のように、簡単に述べて理解できる問題が好きです。

私があなたの質問に関連していると思う私のお気に入りの1つは、ルーマニアのバベシュ・ボーヤイ大学のドリン・アンドリカ教授の質問です。彼は、すべての自然なnについて、それを推測します。 $$\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n} \lt1$$

これは、1985年に提案されて以来未解決です。数論では非常に難しい未解決の問題のようです。

2004年頃、DanGrecuはこれを $p_n \lt 1000000$

今調べてみると、Imran Ghoryは、最大の素数のギャップに関するデータを使用して、 $n$ まで $1.3002 × 10^{16}$

私はこれをグーグルで検索しました、そしてここにウィキペディアのページがあります: https://en.wikipedia.org/wiki/Andrica%27s_conjecture

教授はここに彼の多くの論文や本のウェブサイトを持っています。 http://www.dorinandrica.ro/index.php

American Mathemathics Monthly(1976)61では、それは難しい未解決の問題として与えられています。

$$\lim_{n\to\infty} \big(\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}\big)=0$$

この最後の情報は、RichardGuysの優れた本UnsolvedProblems in Number Theory(第3版)から抽出したもので、現在も入手可能です。 https://www.amazon.co.uk/Unsolved-Problems-Number-Intuitive-Mathematics/dp/0387208607

ちなみに、双子素数予想に関する過去5年間の動きの速い開発について読んだ優れた「ライター」は、VickyNealeの著書「ClosingTheGap」に美しく説明されています。 https://www.amazon.co.uk/Closing-Gap-Quest-Understand-Numbers/dp/0198788282

双子素数予想について2013年以前に書かれたものの多くは、最近の進展に照らして大幅に書き直す必要があります。

PS:ここでアンドリカの予想を証明する試みは失敗しました: https://iquestion.pro/q/ma16032939

そして、ここでのより深刻な試み: https://math.stackexchange.com/questions/1092693/proof-of-andrica-when-assuming-oppermann/1099968#1099968

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