可縮空間のチェックコホモロジー

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Ϛ . 2019-02-27 10:32.

私は穏やかなペースでチェックコホモロジーを経験しています。ご存知のように、求められている層係数コホモロジーを取得するにはコリミットが必要です。実際には、実際のコホモロジー群を計算するために、私はLerayの定理を呼び出し、非巡回被覆を選択するので、共極限は必要ありません。これはこれまでのところ非常に明確です。晴れた日には、計算を扱いやすくするマイヤー・ヴィートリスのバージョンもあります。

私の問題は、可縮空間(たとえば、オープンディスク)が自明なコホモロジー(たとえば、一定の前層の場合)を持っていると非常に素朴に仮定したことです。そして、私は期待された結果を得るので、それは明らかに間違っていません。しかし、どうすればこれを証明できますか?

私は、チェックコホモロジーが「十分に良い」空間に関する他のコホモロジー理論と同型であることを知っています。それは(非現実的ではありますが)証拠を得る方法です。しかし、確かに、チェックコホモロジーには「内部」という単純でエレガントな議論がありますか?

1 answers

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freakish 2019-02-27 23:47.

チェックコホモロジー関手はホモトピー不変です。意味ホモトピーマップは、等しい準同型にマッピングされます。これはホモトピー同値を意味します$f:X\to Y$ 同型を誘発する

$$f^k: H^k(Y,\mathscr{F}) \to H^k(X, f^{-1}\mathscr{F})$$

のために $k$ および「適切な」(つまり、局所的に一定の)束 $\mathscr{F}$。ここに$f^{-1}\mathscr{F}$ 手段 https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_image_functor これは、定数マップの場合(つまり、可縮の場合)、に関連付けられた定数層です。 $\mathscr{F}(Y)$。詳細(証明を含む)については、を参照してください。https://webusers.imj-prg.fr/~pierre.schapira/lectnotes/AlTo.pdf

したがって、可縮空間のチェックコホモロジーを計算するには、点のチェックコホモロジーを計算するだけです。これは、定義から直接行うことができます。これは、すべての前層が取るに足らないものであり(つまり、単一のアーベル群によって一意に決定される)、1つのオープンセットのみを含むオープンカバーが1つしかないためです。多少の努力が必要ですが、すべての計算は非常に実行可能であり、試してみることをお勧めします。

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