述語論理の公理の選択について自分を納得させる

3
Daniels Krimans 2019-02-22 16:02.

述語論理のヒルベルト型の形式体系を考えてみましょう。Kleeneの「IntroductiontoMetamathematics」1971のものを使用します。このスタイルで述語論理を開発する際に、一連の公理(または選択に応じて公理スキーマ)と一連の推論規則をリストします。次に、証明と定理の概念が定義されます。

しかし、それについて考え、自分自身に正直になった後、特定の公理と推論規則(または同等のもの)が選択される理由がわからないことを認めなければなりません。私はそれについてのあなたの考えを聞きたいです、そして私はあなたに説明のための私のすべての仮説と私がそれらに不満を持っている理由をあなたに与えるでしょう。

たとえば、次のような公理型スキーマについて考えてみます。 $A,B,C$ 数式を表す超数学変数です。

$$ 1. (A \Rightarrow B) \Rightarrow ((A \Rightarrow (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C)) $$

次の推論規則も考慮してください。 $C$ 変数を含まない式を示します $x$ そして $A$ 任意の式を示します:

$$2. \textrm{If } C \Rightarrow A(x) \textrm{ then } C \Rightarrow \forall x(A(x)) $$

$$3. \textrm{If } A(x) \Rightarrow C \textrm{ then } \exists xA(x) \Rightarrow C $$

仮説1:これらおよび他の公理/公理スキーマ/推論規則は、それらが機能するという理由だけで採用されます。たとえば、一貫性を示すことができます。また、数学の「非公式」定理のほとんどは、この種の述語論理を使用して正式に再構築できるためです。しかし、どうやってそれらを思い付くのでしょうか?公理/推論規則の同等のセットのいくつかを、それらに一貫性を持たせ、「非公式」数学のほとんどを形式化できるようにするだけでは、かなり不可能に思えます。この背後には、ある種の直感や解釈があるべきだと思います。

仮説2:私たちの選択は、解釈の下ではそれが理にかなっているという事実にも基づいています。しかし、私はそれを理解するのに苦労しています。たとえば、公理型1を検討すると、解釈は次のようになります。$A$ その後 $B$ それならもし $A$ その後、 $B$ その後 $C$ その後、 $A$ その後 $C$「これは私にとって非常に混乱しているため、直感的に簡単にアクセスできません。推論規則2および3については、説得力のある解釈はありません。与えられた推論規則について説得力のある解釈をしていただければ幸いです

仮説3:おそらく、モデル理論の議論によって、公理型としてどの式を選択すべきかを議論することができますが、ここでは、有限手段を使用した述語論理のモデル理論では、述語論理の変数のドメインが有限ですが、通常、実際には、無限領域の理論を使用します。多分それが有限領域に当てはまるなら、それが無限領域に当てはまると仮定することは合理的であると主張することができますが、私にはわかりません。そして、なぜ私たちがそうする方法で真理値表を選ぶのかを尋ねることもできます。また、一部の種類の論理には真理値表がないが、公理/公理スキーマ/推論規則があることを考えると、この直感は十分に一般的ではないかもしれないと思います。

仮説4:おそらく、演繹定理のように特定の演繹規則を保持したいと主張することもできます。しかし、哲学的にはそれらは必要ではなく、単なる便利なツールであると常に感じていましたが、原則として、これらの演繹的なルールなしですべてを開発することができました。したがって、そもそも理論の基本ではないため、それらを使用することについて議論することはできません。

仮説5:より単純でより直感的な公理と推論規則を備えた同等の述語論理がある可能性があります。その場合、誰かがそれが何であるか、そしてなぜそれがより単純でより直感的であるかについていくつかの参照を与えることができますか?

私はあなたの助けとアドバイス、そしてこれについてのあなた自身の哲学的/直感的な考えに感謝します。特に私にとっては興味深いことです。これらのことについてどのように考え、自分がしていることが合理的であるとどのように確信しますか。

2 answers

4
Mauro ALLEGRANZA 2019-02-27 00:03.

まず第一に、現代の数理論理学には、ヒルベルト流、自然演繹、シークエント計算、タブロー、解像度、方程式など、多くの証明システムがあることを考慮する必要があります。

ヒルベルト流は、によって「成文化」された最初のものでした https://en.wikipedia.org/wiki/Begriffsschrift、そしてラッセルとホワイトヘッドによってさらに開発されました https://plato.stanford.edu/entries/principia-mathematica/ そして、最初の現代の数学のログの教科書に至りました:ヒルベルトとアッカーマンの https://en.wikipedia.org/wiki/Principles_of_Mathematical_Logic

1935年 https://en.wikipedia.org/wiki/Gerhard_Gentzen ルールのみの証明システムである自然演繹とシークエント計算を開発しました。

公理と規則に基づいたヒルベルト流の証明システムに戻ると、命題論理から始めなければなりません。 https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Hilbert_systems

フレーゲから始まった伝統は、いくつかの公理と唯一のルールを採用しました:モーダスポネンス

最初の「バリエーション」には、基本的な命題論理演算の選択が含まれます。フレーゲ採用$\to$ そして $\lnot$ ラッセル&ホワイトヘッドが使用している間 $\lor$ そして $\lnot$

命題論理の公理化へのアプローチは、ユークリッドののreminescentた要素「自明」の公理を導入しようと、。

この意味で読むことができます https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Hilbert_systems#Negation_and_disjunction、「トリッキー」を回避する $\to$重要な意味)そして「より簡単な」採用$\lor$論理和)。

このアプローチは、によってさらに合理化されています。 https://books.google.it/books?id=UaPuCAAAQBAJ&pg=PA21MPルールと次の公理型スキーマを使用:

$(A \lor A) \to A$

$A \to (B \lor A)$

$A \to (B \to ((C \lor A) \to (B \lor C))).$

非常に似ています https://books.google.it/books?id=Vl1ZDwAAQBAJ&printsec=frontcoverのシステム、1つの公理(スキーマ): $\lnot A \lor A$、および上記の公理のルールバージョンに加えて、MPの代わりにカットルール

しかし、フレーゲの元のアプローチもさらに洗練されました。たとえばを参照してくださいhttps://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Hilbert_systems#Implication_and_falsum

上記の進化は、さまざまな目標によって推進されました。

  • 選択された公理の証拠;

  • 公理(および連結語)の数を減らします。

  • 「実用的な」ニーズ:演繹定理健全性と完全性の定理をできるだけ早く証明するために必要な公理を採用します。

2番目のドライバーは、証拠(および場合によっては了解度)を犠牲にして、単一の公理-単一の接続バージョンを作成しました。

しかし、還元主義的アプローチはメタ定理を証明するのに役立ちます。通常、帰納法による証明が必要であり、連結語と公理の数が減ると、調査するケースが少なくなります。

3番目の推進要因は不可欠です。健全完全な、つまりすべての有効な式を(適切なセマンティクスに従って)導出できる証明システムが必要です

この観点から、最も成功した命題公理システム:教会、メンデルソン、通常は3つの公理と1つの規則(公理付き: $A \to (B \to A)$ そして $(A \to (B \to C)) \to ((A \to B) \to (A \to C))$DT))の証明に十分なものは、多くのルールを持つ自然演繹と比較して、非常に実用的です。

ザ・ https://www.iep.utm.edu/nat-ded/#H4 BernaysとKleeneによってヒルベルト流のシステムに移され、2つの利点を融合しようとしました。メタ論理的な「実用性」と、接続詞へのより直感的なアプローチ、および2つの導入-削除ルール(および対応する公理)です。

さらに、このアプローチは https://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/#IntFirOrdPreLog、連結語が相互定義できない場合。

結論(これまで):実用的な理由(Hypos.1と4)と「証拠」の間にはトレードオフ(および緊張)があります。

非常に便利:John Corcoran、 https://www.jstor.org/stable/186168?seq=1#page_scan_tab_contents


についての問題 https://mally.stanford.edu/tutorial/quantificational.html 似ている。

まず第一に、公理の選択は命題部分についての以前の選択に基づいています。

一部の証明システムは、モーダスポネンスエンダートンを参照)という1つの推論規則のみを使用することを選択するため、数量詞に適した公理を追加する必要があります。繰り返しになりますが、古典論理では、一方を他方の観点から定義する基本的な方法として、両方の数量詞を導入するという選択肢があります。

別の選択肢は、フレーゲとR&Wのシステムに従って、数量詞の推論規則も導入することです。 https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_generalization

繰り返しになりますが、上記の目標にはさまざまな解決策があります。Kleeneのシステムも、自然演繹アプローチの「ヒルベルトバージョン」です。

繰り返しますが、「ミニマリスト」アプローチには多くの可能性があります。Shoenfieldは数量詞の公理を使用しています。$A[x/a] \to \exists x A$ そしてその $\exists$-導入ルール:「 $x$ で無料ではありません $B$、推測 $\exists x A \to B$ から $A \to B$ (も参照してください https://books.google.it/books?id=AHvoluqx7uoC&pg=PA34)。

ここで、IMO、新しい「緊張」が生まれました。公理は非常に自然ですが(ユニバーサルインスタンス化の公理とルールも同様です)、導入ルールはそうではありません。

一般化ルールはより直感的ですが、注意が必要であり、演繹Thとの相互作用に問題があります。

結論(暫定):数量詞についても、https://www.iep.utm.edu/nat-ded/#H7、それぞれのペアの導入-削除で、かなり...「自然」です。

ヒルベルト流のアプローチを採用する場合、基本的なトレードオフは「自然さ」(NDを公理+規則に変換する)と不足の間です。

明らかに、システムが健全性と完全性の基本的な特性を備えていることを確認します。

1
mls 2019-02-27 15:17.

私はさまざまな公理化に取り組んでいるので、私は応答しているだけです。私の作品は決して出版されません。

私の主な動機は、学生としての経験から来ました。私の教授は一般的に、存在と独自性の主張の説明を実際に含む明確な説明と認識論的推論を使用しました。正式なシステムの歴史は、これらの慣行が意味のある意味でサポートされていないようなものです。

英語に翻訳された優れたソースブック(私は1つの言語しか話せません)があります。質問のいくつかに答えるには、それらを参照する必要があります。常に動機があります。ボルツァーノは「幾何学」を信頼していませんでした。バークレーは「流率」を信頼していませんでした。現代の数学のほとんどとは無関係ですが、ヒルベルトはその「時間的」性質の幾何学を取り除きました(したがって、ニュートンの擁護者が宣言したように、空間と時間は相互に測定しません)。

常に動機があります。

シークエント計算はあまりしません。しかし、私が問題を理解しているように、ゲンツェンは否定のシークエントの背後にある対称性について非常に満足していました。常に動機があります。自分のモチベーションを感じなければ、他人のことしか学べません。そして、カルナップが観察したように、何かが形式化されると、努力によって学んだことは失われているように見えます。それは個人的なものです。

セマンティクスが良い動機であると自分自身に信じさせてはなりません。1999年、PavicicとMegillは、古典的な命題論理の公理の「忠実な」モデルがブールモデルではないことを示しました。

https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9906101.pdf

実際、彼らは「忠実な」モデルを数値で表すことはできないと指摘しています。

私自身の仕事では、真理値表の関係が回復されるように、16個の定数を相互に関連付ける4096の公理を開発しました。NANDの公理が回復したので、私はニコドの仕事を通して古典的な命題論理を持っています。私の動機は、真理値表のシステムが有限アフィン幾何学の公理を満たしていることを認識することから来ていました。私が答えた質問は、名前の付いた幾何学的な点から構成性関係を再構築する方法を尋ねていました。複雑さを理解したい場合は、「trilatticeロジック」をご覧ください。また、そのロジックの作成者は、16個のポイントに16個の記号を付けることに直面していなかったことを覚えておいてください。実際、彼らの仕事はもっと難しかったと思います。

オイラー図を「学習解除」し、集合論(たとえば、クネン)で論理を表現することは単に「忠実」ではないことを実際に理解するのに多大な労力を要しました。しかし、ブールモデルは実際には微積分のモデルであるため、問題があることを支持者に示す方法はありません。

論理公理についての質問に関しては、例が重要です。ジェームス・A・トーマスの「シンボリックロジック」という本から学びました。これは、補助的な控除を追跡する「ストローク」証明を使用し、多数の例を提供します。あなたの量化公理がそれらがする構造を持っている理由は、量化子がしばしば補助的な控除で操作されるからです。やや時代遅れですが、ラッセルの「数学の原理」は、彼がとる命題公理をとることに何が関係しているのかについての良い議論をしています。

今日、人は説明なしにある論理から別の論理に移ることが期待されています。しかし、説明は危険です。それは哲学との境界にあります。

間違いなく、特定の目的を追求する人々がいます。しかし、それは、多くのロジックに関する経験が優れているという理由だけで、より最近のものです。論理で対処しなければならない1つの問題は、構文変換全体での真理の保持です。そのため、「一次」が非常に重要です。ラッセルは、彼の論文「表示について」で「実証」と呼ばれるべきものについて良い議論をしています。関係と関数は外延的真理の基礎を提供することはできず、それはフレーゲ・ラッセル論理主義が数学の一部となった外延の概念です。

しかし、数学は外延的である必要がありますか?技術的には、「正式な公理」は唯名論にすぎません。私はかつて「フォーマリズム」をこの概念と混同していました。すべてが「エンコード」されている数学外のメタ数学の連なりは、そうでないことを私に確信させました。私は今、「唯名論第一」の観点から基礎について考えています。

私は、公理内で起こることの応用を除いて、公理外の数学についての意見はありません。

私の側では、論理的な公理に近づくときに特定の目標を追求する必要がありました(蹴ったり叫んだりします!!!)。ツェルメロ・フレンケル集合論の文脈における「集合宇宙」という表現は、理論の外にある明確な記述です。このため、理解する必要のある論理が負の自由論理であることにゆっくりと気づきました。自由な論理と説明は絡み合っています。私の論理的公理は、存在しないことを立証する必要なしに、存在しないことの識別不能性の考えを支持します。ですから、自己メンバーシップを認める公理で、記述を使って、集合宇宙をユニークな自己メンバーシップの個人として紹介することができます。

私の論理がこれを行うことができる理由は、円筒代数(推移性)に関する彼の研究からのタルスキの公理の1つが「実存的インポート」を伴うアイデンティティステートメントをどのように導入できるかを認識したからです。ですから、実存的なインポートなしで識別可能性のみを伝える関係を持つことができれば、否定的な自由論理の原則に対応することができます。したがって、私が書いたロジックは、「インスタンス化可能性」(実存的インポート)、「識別可能性」(形式的な区別)、および「代替性」(微積分内)を区別します。

明確な記述の扱いに関しては、ラッセルの説明以来、多くのことが変更されました。ストローソンは、明確な説明が参照的に理解されるべきであるという可能性を紹介しました。ライマーは、実際に観測された惑星が発見される前に「海王星」という名前が導入されたなどの例に基づいて、記述的に定義された名前を主張してきました。これはニールに彼の考えを変えるように確信させました。彼は、この種のアカウントを実装するための構文を提案しました。そして、アブラハム・ロビンソンは、彼の「制約された外延について」で、そのような方法で構築された形式言語の構造について議論しました。パドアの方法とベスの定義可能性の定理に拘束される義務はないと思います。

私の論理を書いた後、ラッセルの「数学の原理」で非常によく似た公理のセットを発見しました。そこでは、彼は「量」と「大きさ」について論じています。私の公理のように、実存的なインポートは自動的に許可されません。ラッセルが話しているのは本質的に幾何学的です。これは、代数システムを構築した後に距離空間に到達する方法の典型的な処理において、ユークリッド点空間またはアフィン空間を形成する点と比較することができます。しかし、数値的同一性が主に幾何学的現象であると考える場合、これは洞察を引き出すことを期待する場所です。

誰かが意図的な目的なしにロジックを書くことができるかどうかはわかりません。ゲンツェンは彼を持っていた。私は私のことを否定することはできません。

直観性に関しては、一次数量化の標準的な説明よりも単純なものがあるとは思えません。教授が「数学的な」ものとして私に提示されたものとは異なることをしている例がなかったら、私は反対の直感を持っていなかったかもしれません。今、私は古典的な命題論理を持っています。その定量論理は、否定的な自由論理の原理によって動機付けられた構成主義数学からの「離れ」と「同一性」に匹敵します。

それが私にとって「直感的」なことです。

あなたの研究で頑張ってください。

Related questions

MORE COOL STUFF

ダイアナ妃は、8歳でウィリアム王子を寄宿学校に送るという決定に「涙を流した」

ダイアナ妃は、8歳でウィリアム王子を寄宿学校に送るという決定に「涙を流した」

ウィリアム王子が 8 歳のときに寄宿学校に通わせたことについて、ダイアナ妃がどのように感じたかを学びましょう。

シャキール・オニールは、レイカーズのスターが彼のチキン帝国を北テキサスに拡大するにつれて、ダラスの外に永住権を購入しました

シャキール・オニールは、レイカーズのスターが彼のチキン帝国を北テキサスに拡大するにつれて、ダラスの外に永住権を購入しました

Shaquille O'Neal は最近、Big Chicken レストラン帝国を拡大するため、ダラス郊外に住居を購入しました。

「90 日間の婚約者」: イヴが逮捕され、浮気スキャンダルの後、モハメドに対する家庭内暴力の容疑に直面している — 何が起こったのか?

「90 日間の婚約者」: イヴが逮捕され、浮気スキャンダルの後、モハメドに対する家庭内暴力の容疑に直面している — 何が起こったのか?

「90日の婚約者」シーズン9のスター、イヴ・アレラーノが逮捕され、モハメド・アブデルハメドへの暴行容疑で家庭内暴力の罪に問われている.

ナターシャ・リオンは、ピーウィー・ハーマンは「ビジネスで最高のGIFを送る」と言います

ナターシャ・リオンは、ピーウィー・ハーマンは「ビジネスで最高のGIFを送る」と言います

ナターシャ・リオンは、ピーウィー・ハーマン自身、ポール・ルーベンスと親密です。彼らの友情について彼女が言ったことを発見してください。

セントヘレナのジェイコブのはしごを登るのは、気弱な人向けではありません

セントヘレナのジェイコブのはしごを登るのは、気弱な人向けではありません

セント ヘレナ島のジェイコブズ ラダーは 699 段の真っ直ぐ上る階段で、頂上に到達すると証明書が発行されるほどの難易度です。

The Secrets of Airline Travel Quiz

The Secrets of Airline Travel Quiz

Air travel is far more than getting from point A to point B safely. How much do you know about the million little details that go into flying on airplanes?

Where in the World Are You? Take our GeoGuesser Quiz

Where in the World Are You? Take our GeoGuesser Quiz

The world is a huge place, yet some GeoGuessr players know locations in mere seconds. Are you one of GeoGuessr's gifted elite? Take our quiz to find out!

バイオニック読書はあなたをより速く読むことができますか?

バイオニック読書はあなたをより速く読むことができますか?

BionicReadingアプリの人気が爆発的に高まっています。しかし、それは本当にあなたを速読術にすることができますか?

ニューヨーク州ブルックリン、住居侵入により91歳の死者、彼の「激しい」100歳の妻が動揺

ニューヨーク州ブルックリン、住居侵入により91歳の死者、彼の「激しい」100歳の妻が動揺

ワディマンとエスリン・トンプソン(@OneRandom_Chick via Twitterスクリーンショット)「ドナルド・トランプ、スティーブ・バノン、そして 『em』ファイルで地獄の内輪に特別な場所があります」、ニューヨーク州ブルックリンの高齢者

アイスランドは、プロバイダーが望んでいないネオナチのウェブサイトであるデイリーストーマーの未来を考えています

アイスランドは、プロバイダーが望んでいないネオナチのウェブサイトであるデイリーストーマーの未来を考えています

ネオナチのウェブサイトTheDailyStormerの編集者であるAndrewAnglinが、8月にバージニア州シャーロットビルで白人の超常主義者にひかれた後に亡くなった女性を侮辱して以来、さまざまなドメインプロバイダーからウェブサイトを別の場所に移動するように言われました。地点。現在、アイスランドはドメインWebサイトを立ち上げるかどうかを検討しています。

Fortniteはそれを粉砕し続けます

Fortniteはそれを粉砕し続けます

先週末、漫画風のバトルロワイヤルゲームFortniteは、すべてのプラットフォームで340万人の同時ユーザーを襲いました。

ウォッチ:ラシダジョーンズは#MeTooとTime'sUpは包括的でなければならないと言います

ウォッチ:ラシダジョーンズは#MeTooとTime'sUpは包括的でなければならないと言います

月曜日のMakersConferenceでAvaDuVernayが司会を務めたパネルディスカッションで、ハリウッドの女性が#MeTooムーブメントとTime'sUpイニシアチブについて話し合いました。パネルは映画とテレビ業界の女性とTime'sUpイニシアチブで構成されました:ディレクターMelina Matsoukas、弁護士ニーナ・ショー、作家兼コメディアンのジル・ソロウェイ、エージェントのマハ・ダキル、俳優のナタリー・ポートマンとラシダ・ジョーンズ。

ケイト・ミドルトンとウィリアム王子は、彼らが子供たちと行っているスパイをテーマにした活動を共有しています

ケイト・ミドルトンとウィリアム王子は、彼らが子供たちと行っているスパイをテーマにした活動を共有しています

ケイト・ミドルトンとウィリアム王子は、子供向けのパズルの本の序文を書き、ジョージ王子、シャーロット王女、ルイ王子と一緒にテキストを読むと述べた.

事故で押しつぶされたスイカは、動物を喜ばせ水分補給するために野生生物保護団体に寄付されました

事故で押しつぶされたスイカは、動物を喜ばせ水分補給するために野生生物保護団体に寄付されました

Yak's Produce は、数十個のつぶれたメロンを野生動物のリハビリ専門家であるレスリー グリーンと彼女のルイジアナ州の救助施設で暮らす 42 匹の動物に寄付しました。

デミ・ロヴァートは、新しいミュージシャンのボーイフレンドと「幸せで健康的な関係」にあります: ソース

デミ・ロヴァートは、新しいミュージシャンのボーイフレンドと「幸せで健康的な関係」にあります: ソース

8 枚目のスタジオ アルバムのリリースに向けて準備を進めているデミ ロヴァートは、「スーパー グレート ガイ」と付き合っている、と情報筋は PEOPLE に確認しています。

Plathville の Kim と Olivia Plath が数年ぶりに言葉を交わすことへようこそ

Plathville の Kim と Olivia Plath が数年ぶりに言葉を交わすことへようこそ

イーサン プラスの誕生日のお祝いは、TLC のウェルカム トゥ プラスビルのシーズン 4 のフィナーレで、戦争中の母親のキム プラスと妻のオリビア プラスを結びつけました。

水門の修理

水門の修理

天王星と海王星の間の領域に向かって宇宙を 3/4 g の低温で航行しながら、私たちは数週間燃え続けていました。Dawson Trawler の科学者が Yggdrasil ポータルと呼んだもの。

美しいもの

美しいもの

女性として、私は通常、関係を築くことをためらっています。私はいつも彼らに負けないように苦労しました。私は誰かと共有したいという衝動と戦わなければなりません。

逃走中の女性からの発信

最も家が必要なときに家のように感じる場所はありません。

逃走中の女性からの発信

私は誰よりも移動しました。父が住んでいた土地には、父が 1 歳馬を折るミニチュアの競馬場がありました。

死にゆく男から学んだ最大の人生の教訓

彼は、私たちが持っているのはこの現在の瞬間だけであることを知るのが遅すぎました。

死にゆく男から学んだ最大の人生の教訓

ブラッドは、カーキ色のショート パンツとポロ シャツを着たまま、白いゴルフ グローブを両手で高く引っ張ったまま、ベッドルームに入ってきました。彼は満面の笑みを浮かべながら、「今年は私の人生で最高の年だったと思います!」と言いました。通常は保守的な消費者である私たちは、通常とは異なることをしました。

Language