最初のn回の試行で決定に達しない確率

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The Poor Jew 2019-02-20 18:25.

3人の兄弟は、どのテレビ番組を視聴するかについて合意できません。彼らはそれぞれが公正なサイコロを振って、最も多い数の人がテレビ番組を選ぶようになると決定します。2人以上の人が最大の数を取得した場合(たとえば、サイコロの数が(5、5、2)または(4、4、4))、彼らは再びサイコロを振ります。

1)n∈Nを固定する。最初のn回の試行で決定に達しない確率を計算するにはどうすればよいですか?

2)n∈Nとします。n回の試行で決定に達した場合、決定に達する前の少なくとも1回の試行で、すべてのスコアが同じである確率を計算するにはどうすればよいですか。

誰かがこの問題で私を助けることができますか?

2 answers

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G Cab 2019-02-21 03:51.

問題に幾何学的にアプローチすることができます。

各トリプルトス $\left( {x_{\,1} ,x_{\,2} ,x_{\,3} } \right)$ 辺のある立方体の整数点に対応します $[1,6]$:wlogサイコロに番号を付けることができます $0,1,\cdots , 5$、原点に1つの頂点を持つ立方体を配置する方が便利です。
それを一般的にして、側面のある立方体を取りましょう$[0,r]$
ダイフェアであること、すべて$\left({r+1} \right)^3$ ポイントは等確率です。

従う点点によって作られた領域を考えてみましょう $$ {0 \le x_{\,1} < x_{\,2} < x_{\,3} \le r} $$ そのような領域の積分体積は明らかに $$ \binom{r+1}{3} $$ (から3つの値を選択します $r+1$、順番に並べます)。
そのような領域は6つあり、の順列に対応しています。$x_k$

代わりに、立方体の対角線、 $x_1=x_2=x_3$、のボリュームがあります$r+1$

もっと一般的にしましょう。 $m$ 兄弟、第2種のスターリングNを介した[階乗冪] [1]に関する二項式の拡張に注意してください。 $$ \eqalign{ & \left( {r + 1} \right)^{\,m} = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,k\,\left( { \le \,m} \right)} { \left\{ \matrix{ m \cr k \cr} \right\}\left( {r + 1} \right)^{\underline {\,k\,} } } = \cr & = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,k\,\left( { \le \,m} \right)} {\ underbrace {\left( {k!\left\{ \matrix{m \cr k \cr} \right\}} \right)}_{N.} \underbrace {\left( \matrix{ r + 1 \cr k \cr} \right)}_{Vol.}} \cr} $$ キューブを領域に分割することを表します $$ \left[ {x_{\,1} < x_{\,2} < \cdots < x_{\,m} } \right],\left[ {x_{\,1} = x_{\,2} < \cdots < x_{\,m} } \right], \cdots , \left[ {x_{\,1} = x_{\,2} = \cdots = x_{\,m} } \right] $$ 上記の式で $k$ の数を表します $<$記号+1。
これは、スターリングNの意味に頼って示すことができます。第2種$\left\{ \matrix{ n \cr k \cr} \right\}$ 数として、n個のオブジェクトのセットをk個の空でないサブセットに分割する方法の数

決定は次の場合に行われます $$ \left[ {x_{\,1} \le x_{\,2} \le \cdots \le x_{\,m - 1} < x_{\,m} } \right] $$ またはそれの順列。
の値を修正する$x_m$、その場合、そのような領域のボリュームは明らかに $x_m^{m-1}$、その
ようなピラミッドの総体積は $$ V = \sum\limits_{1\, \le \,k\, \le \,r} {k^{\,m - 1} } $$ m-タプル $x_m$ 他のコンポーネントよりも厳密に高いですもちろん、最も高いコンポーネントがであるものとは異なります(重複しません) $x_1$ または $x_2$等々。したがって、$m$ そのような地域の。

これで、質問を解決するための基本的な要素ができました。

あなたの特定のケースでは、 $m=3$ そして $r=5$、決定が下される確率は $$ P_{decision} = {{3\sum\limits_{1\, \le \,k\, \le \,5} {k^{\,2} } } \over {6^{\,3} }} = {{165} \over {216}} = {{55} \over {72}} $$

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user 2019-02-21 04:16.

ラウンドが乾燥せずに終了する確率は $$ \underbrace{3\left(\frac16\right)^2\left(\frac56+\frac46+\frac36+\frac26+\frac16\right)}_{\frac{15}{72}}+ \underbrace{6\left(\frac16\right)^3}_{\frac{2}{72}}=\frac{17}{72}. $$ ここで、最初の被加数は、3番目の被加数よりも大きい値を持つ2つの等しいスコアを表します。要因$3$3人から1人を選ぶ方法の数を表します。その価値$\frac56,\frac46,\frac36,\frac26,\frac16$ 括弧内は、3番目のスコアが以下になる確率です。 $6,5,4,3,2$、それぞれ。2番目の加数は、3つの等しいスコアを持つケースを表します。

したがって、最初の質問に対する答えは次のとおりです。 $$p_1=\left (\frac{17}{72}\right)^n .$$

2番目の質問に答えるには、3つのスコアすべてが等しくなる確率が $\frac{15}2$2つの等しいスコアのみを取得するよりも少ない時間。したがって、 $$ p_2=1-\left (\frac{15}{17}\right)^{n-1}.$$

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