からの機能 $n$-次元超立方体から $\mathbb{R}^m$ いつ $n >m$。

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Halbort 2019-02-14 17:10.

しましょう $n$ そして $m$ 次のような整数である $n > m$。が存在するとします$n$-次元の超立方体 $\mathbb{R}^n$。超立方体をに分割しましょう$2^n$ 地域($n$-次元ボリューム)各直交次元を垂直に二等分することによって。たとえば、類似のアイデアは、正方形を象限に分割したり、立方体を八分円に分割したりすることです。

微分可能関数はありますか $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 超立方体の領域の画像がペアワイズで交差しないように $\mathbb{R}^m$

1 answers

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jmerry 2019-02-15 04:13.

場合 $m=1$、 番号。中間値の定理により、各領域の画像は間隔でなければなりません。連続性により、各領域の画像には次のものが含まれている必要があります$f(O)$ その閉鎖で、どこで $O$が中心です。端点または内部にゼロがある4つ以上の間隔では、それらはオーバーラップする必要があります。

場合 $m>1$、 はい。カットを座標超平面にする$\mathbb{R}^n$、ここからの地図です $\mathbb{R}^n$$\mathbb{R}^2$:作品その
レッツ$g(x_1,x_2,\dots,x_n)$ からの関数である $\mathbb{R}^n$ の単位円に $\mathbb{R}^2$ それはのサインだけに依存します $x_i$、および各「象限」で異なる値を取ります。もし$x_i$ そして $y_i$ いくつかの反対の兆候があります $i$$g(x_1,x_2,\dots,x_n)$ そして $g(y_1,y_2,\dots,y_n)$異なっています。
次に、定義します$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=x_1^2x_2^2\cdots x_n^2g(x_1,x_2,\dots,x_n)$; この$f$私たちが求める機能です。各「象限」は異なる光線にマッピングされ、それらを分離する超平面はすべて単一の点にマッピングされます$0$。各「象限」の内部では、$f$ 微分可能関数の定数倍であるため、微分可能です $x_1^2x_2^2\cdots x_n^2$、および $f$ は、微分がゼロの超平面上で微分可能です。これは、そこでゼロである座標の2乗によって局所的に制限されたものを乗算しているためです。

ために $m>2$?追加の座標にゼロを関数に埋め込みます。

これは、カット領域の内部のみを分離する必要があり、境界超平面の画像が交差できるという解釈に依存しています。

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