独立性を伴う限界収束は、共同収束を意味します

3
Ray 2019-02-12 18:54.

場合 $X_n$ そして $Y_n$ すべての独立したランダムベクトルです $n$、その後 $X_n \overset{d}{\to} X$ そして $Y_n \overset{d}{\to}Y$ それを意味する $(X_n,Y_n) \overset{d}{\to} (X,Y)$ どこ $X$ そして $Y$ 独立しています。

私はその声明が真実であることを知っています $X_n, Y_n$ に収束します $X, Y$独立性を前提としない確率で。これを証明しようとすると、特性関数を使用しましたが、表示に行き詰まりました$X$ そして $Y$ 独立しています。

2 answers

3
Kavi Rama Murthy 2019-02-12 19:46.

あなたが証明しようとしていることの反例: $X_1,Y_1,X_2,Y_2,\cdots$標準正規分布のiid確率変数である。次に$X_n \to X_1$ 流通と $Y_n \to X_1$配布中。たとえ$X_n$ そして $Y_n$ それぞれに独立しています $n$ それは真実ではありません $X_1$ それ自体から独立しています!。

その仮説 $X_n \overset {d} {\to} X$ 確率変数を決定しません $X$。交換しても事実は真実です$X$同じ分布を持つ別の確率変数によって。したがって、それを証明することに疑問の余地はありません$X$ そして $Y$独立しています(これらの確率変数が何であるかさえわからないため)。あなたはそれを仮定することになっています$X$ そして $Y$ 独立している(それらの同時分布が一意に定義されるように)そしてそれを証明する $(X_n,Y_n)$ に収束します $(X,Y)$配布中。ここで、WillMによる回答を使用します。

2
Will M. 2019-02-12 19:24.

ヒント: $Ee^{i((X_n, Y_n) \mid (u, v))} = Ee^{i (uX_n + v Y_n)}=Ee^{iu X_n} Ee^{i vY_n}$、今みましょう $n \to \infty.$

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