すべての機能を決定する $f(x)$ そのような $f(f(x+y))=f(x)+f(y)$

3
Landuros 2019-02-03 19:49.

質問はからです http://web.evanchen.cc/handouts/FuncEq-Intro/FuncEq-Intro.pdf:

すべての連続関数を見つける $f:\mathbb R\to \mathbb R$ そのような実際の $x$ そして $y$$$f(f(x+y))=f(x)+f(y).$$

私は関数方程式にまったく慣れていないので、間違えた場合は訂正してください。

単純な関数をプラグインしてみましたが、 $f(x)=0$ そして $f(x)=x+c$ いくつかのための $c \in \mathbb R$ 動作します。

次のステップは導き出すことだと思います $f(x)=x+c$ 解決策として。

しましょう $y=0$。次に、

\ begin {align} f(f(x))= f(x)+ f(0)\ end {align}

その後、置換を行うことができます $u=f(x)$、を生成します

$$f(u)=u+c$$

以来 $f(0)$ は単なる定数です。

したがって、解決策は $f(x)=0$ そして $f(x)=x+c$ いくつかのための $c \in \mathbb R$$\Box$


これは有効な答えですか?AMOが数日で発生することをご存知の方もいらっしゃるかもしれませんが、回答の質を向上させるためにご協力いただければ幸いです。

2 answers

4
abc... 2019-02-03 20:01.

これは正しくありません。あなたはさせることはできません$u=f(x)$ あなたはそれを証明していないので $f(x)$ 全射です。

ヒントは次のとおりです。 $f(f(x))=f(x)+f(0)$ LHSまたは元の関数方程式を変更して、 $f(x+y)+f(0)=f(x)+f(y)$。これは本当にコーシーの関数方程式のように見えます。続けられますか?

1
Dbchatto67 2019-02-03 20:35.

そのような関数はすべて次の形式です $$f(x) = \lambda x + c ,\ x\in \Bbb R$$ どこ $c = f(0), \lambda = f(1)-f(0)$ そしてどこか $\lambda = c = 0$ または $\lambda = 1$。だからどちらか$$f(x) = 0,\ \text {for all}\ x \in \Bbb R$$ または $$f(x) = x + c,\ \text {for all}\ x \in \Bbb R.$$

編集 $:$

最初にそれを観察する $$f(x+y) + f(0) = f(x) + f(y), \text {for all}\ x,y \in \Bbb R .$$ 今それを観察してください $n \in \Bbb N$ $$f(n) = \lambda + f(n-1).$$ 繰り返しによって、それをすべての人に見るのは難しいことではありません $n \in \Bbb N,$ $f(n) = \lambda n + c,$ どこ $c = f(0)$ そして $\lambda = f(1) - f(0).$ 今拡張 $f$ 以上 $\Bbb Z$ その事実を使用して $f(x) + f(-x) = 2c$ すべてのために $x \in \Bbb R$。拡張$f$有理数と無理数についてもそれほど難しいことではありません。有理数から非合理性を拡張することは、2つの事実から生じます。1つは有理数の密度であり、もう1つは連続関数の順次基準です。だから私たちはそれを証明しました$$f(x) = \lambda x + c,\ \text {for all}\ x \in \Bbb R.$$ ここでも、与えられた関数方程式を使用して、 $f(x)$ そこに私たちは得る

$$(\lambda - 1) (\lambda(x+y) + c) = 0, \text {for all}\ x,y \in \Bbb R.$$ だからどちらか $\lambda = 1$ または $\lambda (x + y) + c = 0,$ すべてのために $x,y \in \Bbb R$。後者の場合$\lambda \neq 0$ そうでなければ私たちはすべてのために持っているので、それは矛盾をもたらします $x,y \in \Bbb R,$ $x+y = -\frac {c} {\lambda},$これは明らかに誤りです。したがって、後者の場合は、$\lambda = 0$。しかし、それは意味します$c=0$。だからどちらか$\lambda = c =0$ または $\lambda = 1$

これで証明は完了です。

今は大丈夫ですか@abc ...?

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