クラスが $C_c(\mathbb{R^n})$ コンパクトサポートを備えた連続関数の数は完全な距離空間ではありません

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user516079 2019-01-29 21:01.

以下を表示するように求められます。

クラスが $C_c(\mathbb{R^n})$ コンパクトなサポートを備えた連続機能の $\mathbb{R^n}$ sup-normメトリックを使用 $d(f,g):= \text{sup}_{x\in \mathbb{R^n}} |f(x) - g(x)|$完全な距離空間ではありません。言い換えれば、それを示す$C_c(\mathbb{R^n})$ 上の有界連続関数のクラス内で閉じられていません $\mathbb{R^n}$

この問題にどのように取り組むかさえ、私は本当に完全にはわかりません。これについて直感的に理解するために、私は最初にクラスだけで作業してみました$C_c(\mathbb{R})$ コンパクトなサポートを備えた連続機能の $\mathbb{R}$。だから私はシーケンスを構築する必要があります$\{f_j\}$ の機能の $C_c(\mathbb{R})$ これは、無制限、不連続、またはその両方の関数に収束します。

関数を定義します

$$f_j(x):= x^j \quad \text{if} \quad 0 \leq x < 1$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad -x+2 \quad \text{if} \quad 1 \leq x \leq 2$$ $$0, \text{else}$$

明らかにこれ $f_j(x)$ になります $0$ すべてのために $x \in \mathbb{R}\setminus[0,2]$、 そう $f_j$コンパクトなサポートがあります。簡単に言うと、$f_j$有界で連続的です(これは簡単に厳密にすることができます)。ここで、数字のシーケンスについて考えてみましょう。$\{f_1(x), f_2(x), \ldots \}$。このシーケンスが関数に収束することがわかります

$$f(x) = 0 \quad \text{if} \quad x<1 \quad \text{or} \quad x>2$$ $$-x+2 \quad \text{if} \quad 1 \leq x \leq 2$$

特に、 $f$ で不連続になります $x =1 $、 そう $f$ 上の有界連続関数のクラスにありません $\mathbb{R}$。したがって、$C_c(\mathbb{R})$ 完全な距離空間ではありません。

質問1:これはそれを示す正しい方法でさえありますか $C_c(\mathbb{R})$完全な距離空間ではありませんか?私はこれらのタイプの質問にかなり慣れていないので、おそらく私は自分の証明に何を示す必要があるのか​​よくわかりません。

質問2:もしそうなら、この議論を一般化してそれを示す方法はありますか? $C_c(\mathbb{R^n})$ 完全ではありませんか?

2 answers

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supinf 2019-01-29 21:34.

私たちは距離空間で作業しているので、収束について話すときは常に距離を考慮することが重要です。

質問の仕方は、有界連続関数のクラスが $\mathbb R^n$ メトリックで $d$完全な距離空間です。それを呼びましょう$C_b(\mathbb R^n)$ 今のところ。

だから私はシーケンスを構築する必要があります $\{f_j\}$ の機能の $C_c(\mathbb{R})$ これは、無制限、不連続、またはその両方の関数に収束します。

これは正しくありません。 $\{f_j\}$ に収束します $C_b(\mathbb R)$ (に関して $d$)そして制限は常に連続的で制限されています。

代わりに、あなたがしなければならないことは、シーケンスを見つけることです $\{f_j\}$$C_c(\mathbb R^n)$ 収束する(に関して $d$!)関数に $f$$C_b(\mathbb R^n)$ そのような $f$ にありません $C_c(\mathbb R^n)$。これは次の場合にのみ可能です$f$ コンパクトなサポートはありません。

可能性のある例を見つけてみることをお勧めします $f_j\to f$ そして $f$コンパクトなサポートはありません。収束が正しいメトリックにあることを確認することを忘れないでください。つまり、それを示す必要があります。$d(f,f_n)\to 0$

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Kavi Rama Murthy 2019-01-29 21:43.

しましょう $f$ 次のような連続関数である $f(x) \to 0$ なので $|x| \to \infty$ だが $f$コンパクトなサポートはありません。しましょう$g$ 次のような連続関数である $0\leq g \leq 1$$g(x)=1$ ために $|x| \leq 1$ そして $0$ ために $|x| >2$。シーケンスを検討してください$g(\frac x n)f(x)$。このシーケンスは一様に収束します$f$。のコーシー列です$C_c(\mathbb R^{n})$ しかし、その点ごとの限界のために収束しません $f$ このスペースにはありません。

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