それを証明する方法 $\text{End}_{\mathbb{F}_p}(E)$ 与えられた楕円曲線Eに対して可換ですか?

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a-lawliet 2019-01-27 06:18.

素数を与えられた $p$ 有限体を考慮します $\mathbb{F}_p$、私はそれを見る必要があります $\text{End}_{\mathbb{F}_p}$(E)は注文を使用して可換です。と知られている$\text{End}_{\mathbb{F}_p} \subseteq \text{End}(E)$、そして私はどのように見ました $\text{End}(E)$ 次のいずれかです。

$\mathbb{Z}$

架空の二次体の次数

四元数環の順序

重要なのは、私がそれを示すならば $\text{End}_{\mathbb{F}_p}(E)$ は正確に虚数の二次次数である場合、それは必然的に可換環になりますが、それをどのように示すか $\text{End}_{\mathbb{F}_p}(E)$確かに虚数の二次次数ですか?この事実は、曲線が通常または超特異であるかどうかに関係なく、言い換えれば、包含に関係なく当てはまるはずです。$\text{End}_{\mathbb{F}_p}\subseteq \text{End}(E)$ 厳格かどうか。

これにアプローチする方法についての助けはありがたいです、ありがとう。

1 answers

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Angina Seng 2019-01-27 06:35.

$\text{End}_{\Bbb F_p}(E)$ の自己準同型で構成されています $E$ フロベニウス自己同型で通勤する $F$。なので$p$ 素数です、 $F$ 規範がある $p$、 など $\Bbb Z[F]$ 二次の想像上の次数です。

場合 $E$ 普通です、 $\text{End}(E)$ 二次の想像上の次数であるため $\text{End}_{\Bbb F_p}(E)=\text{End}(E)$

場合 $E$ 超特異です、そして $\text{End}(E)$ 非可換四元数次数であり、 $F$ ただのものです $\Bbb Q(F)\cap\text{End}(E)$、二次体で秩序を形成する $\Bbb Q(F)$

両方の場合において、 $\text{End}_{\Bbb F_p}(E)$ 厳密に含まれている注文である可能性があります $\Bbb Z [F]$

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