とは $T^1(\mathbb H^2/PSL_2(\mathbb Z))$?

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caffeinemachine 2019-01-26 10:09.

しましょう $\mathbb H^2$上半平面になります。グループ$PSL_2(Z)$ に作用する $\mathbb H^2$ 等長写像によって、したがって、私たちは $T^1(\mathbb H^2)$。このアクションは無料で、スムーズで、適切であるため、$X=T^1(\mathbb H^2)/PSL_2(Z)$ は滑らかな多様体です(投影が $T^1(\mathbb H^2)\to T^1(\mathbb H^2)/PSL_2(Z)$ 水没です)。

ではこれらなお:ノート、3ページ、最初の行はそれを読み込み、$X$ は、非コンパクトな双曲曲面の単位接束です(2つの「特異点」を持ちます)。

私はこの声明を理解することができません。誰かが私たちがどのように見ることができるか説明できますか$X$ リーマン多様体の単位接束として?

また、ここで「特異点」とはどういう意味ですか?

ありがとうございました。

編集します。 の定義$T^1$:しましょう$(M, g)$リーマン多様体である。次に$T^1M$単位接線バンドル$M$、はのすべてのメンバーのコレクションです $TM$単位長です。今から$\mathbb H^2$ はリーマン多様体です(メートル法は $(dx^2+dy^2)/y^2$)、私たちは話すことができます $T^1(\mathbb H^2)$

2 answers

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Lee Mosher 2019-01-27 05:44.

ここでのキーワードはザイフェルト多様体です(ウィキペディアのリンクにだまされないでください。ザイフェルト多様体は閉多様体である必要はありません)。

指向性3次元多様体 $M$ 接続された2マニホールド上のそのファイバー $S$ サークルファイバー付き $C$非常に単純な分類理論があります。その理論には、その場合にいくつかの複雑さがあります$M$ (そして $S$)は、ファイブレーションのオイラー数の概念を中心に閉じられています。ただし、$M$ (そして $S$)閉じていない場合、分類は非常に簡単です。それぞれが製品と同型の繊維です。 $C \times S$

より一般的には、配向したザイフェルト多様体 $M$ 基数2オービフォールドであるオービフォールドのカテゴリーのファイブレーションの構造を持っています $O$ は方向付けられているため、それぞれがその順序(自然数)によって決定される特異点のコレクションを持つサーフェスです。 $\ge 2$)、および一般的なファイバーが円である場合。Siefertファイバー構造には、の各特異点に対して局所的な不変量があります。$O$、これは、ジェネリックが近くのポイント上でどのように円を描くかを説明します $O$ 特異な円の周りに風が吹く $O$; この不変量は、モジュロを法とする有理数です。$1$、その分母は特異点の次数に等しい。繰り返しますが、完全な分類理論は、オイラー数によって複雑になります。$M$ 閉じていますが、 $M$ 閉じられていない(同等に $S$ 閉じていない)、Siefert繊維構造は完全に局所不変量によって決定されます。

ザイフェルト多様体空間の特異繊維の局所不変量に関する論文を書くつもりはありませんが、その理論を学んだら、どのように進めるかを説明します。

の場合 $T^1(\mathbb H^2 / PSL_2(\mathbb Z))$、ベースオービフォールド $\mathbb H^2 / PSL_2(\mathbb Z)$は、2次と3次の特異点を持つオープンディスクです。の特異繊維の局所不変量の値を計算できます。$T^1(\mathbb H^2 / PSL_2(\mathbb Z))$ これらの2つの特異点について、それぞれについて調べることによって $p \in \mathbb H^2$ 次数2または3のスタビライザーサブグループ $PSL_2(\mathbb Z)$、そのサブグループがどのように作用するか $T^1_p(\mathbb H^2)$。そうすれば、次の分類を完全に理解できます。$T^1(\mathbb H^2 / PSL_2(\mathbb Z))$ ザイフェルト多様体言語で。

しかし、あなたが同相であるいくつかのよく知られた例を知りたいなら $T^1(\mathbb H^2 / PSL_2(\mathbb Z))$、私はそれも可能だと思います:私はそれが三葉結び目の補数に同相であるかもしれないと信じています $S^3$。その補体は、と同じ基本軌道体を持っています$T^1(\mathbb H^2 / PSL_2(\mathbb Z))$---次数2と次数3の特異性を持つオープンディスク---しかし、2つの特異なファイバーの局所的な不変量を手に負えないことはわかりません。また、これら2つの3次元多様体の基本群を直接比較できる場合もあります。

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Lar Janus 2019-02-01 05:48.

場合 $\Gamma$ のねじれのない格子です $G:=PSL_2(\mathbb{R})$、したがって、自由かつ不連続に作用する $\mathbb{H}$、明確に理解することができます $T^1(\Gamma\backslash\mathbb{H})$ 以来 $\Gamma\backslash\mathbb{H}$は、リーマン計量を保持する射影を備えた優れたリーマン多様体です。さらに、人は識別することができます$\Gamma\backslash G$$T^1(\Gamma\backslash\mathbb{H})$ そして、 $\mathbb{R}$-エントリを持つ対角行列のアクション $\lbrace e^{t/2},e^{-t/2}\rbrace$ の測地線アクションと絡み合っています $T^1(\Gamma\backslash\mathbb{H})$ この識別の下で。

しかし、一般的には $\Gamma$ いくつかの固定小数点があります、表記 $T^1(\Gamma\backslash\mathbb{H})$お気づきのように、あいまい\不正確になります。しかし、まだスペースがあります$\Gamma\backslash G$対角行列による素晴らしいアクションで。ほとんどの作者は、この空間で対角行列アクションを引き続き実行し、単にそれを「単位接束」と呼びます。$\Gamma\backslash\mathbb{H}$表記法の乱用としての「測地線作用」を伴う「」(Bekka-Mayerによる本、ページを参照) $59$)。

エルゴード理論の初心者として、私はねじり格子を使って作業することに気づきました $G$かなりの頭痛の種です。Bekka-Mayerの本では、彼らは単に便宜上、多くの結果に対してねじれがないことを前提としています(セクションIIIを参照)。$.3$、ページ $93$)。

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