有限体における与えられた次数の要素

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user613048 2019-01-23 07:31.

で乗法位数4の要素と位数5の要素を見つける $F_{121}$ によって定義されます $x^{2} +x +7$$Z_{11}$

これを実行する最も明白な方法は、ジェネレーターを見つけて、それをフィールドの4分の1の次数に上げることです。したがって、フェルマーの小定理のアナログによれば、4の累乗にすると1に等しい要素が生成されます。 。しかし、多項式の係数が終わったので$Z_{11}$、明らかなジェネレーターを見つけることができないようで、2次の縮小modは面倒なようです。この有限体から目的の次数の要素をキラリと光らせる、より効率的なエレガントな方法はありますか?

2 answers

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Eric Wofsey 2019-01-23 14:56.

一般に、この種の質問への魔法の近道はないと思いますが、ここにある特定のケースは、いくつかのトリックがあるほど単純です。次数の要素の場合$5$、私たちは注意することができます $5$ 分水界 $11-1$、実際には位数の要素があります $5$$\mathbb{F}_{11}$、試行錯誤で簡単に見つけることができます。もう少し体系的に、正方形のサブグループが$\mathbb{F}_{11}^*$ 輪環の順 $5$ だから他の正方形 $0$ そして $1$ 注文が必要です $5$

次数の要素の場合 $4$、順序の要素に気付くことで、いくつかの作業を節約できます $4$ の平方根です $-1$。だから、私たちはただ解決する必要があります$a,b\in\mathbb{F}_{11}$ そのような $(a+bx)^2=-1$。拡大$(a+bx)^2$ を使用して $x^2+x+7=0$ 我々が得る $$(a^2-7b^2)+(2ab-b^2)x=-1$$ だから私たちは必要です $$a^2-7b^2=-1$$ そして $$2ab-b^2=0.$$ 2番目の方程式は $b=0$ または $2a=b$。最初のケースは機能しません(の平方根がないため)$-1$$\mathbb{F}_7$); 2番目のケースでは、最初の方程式は次のように単純化されます。$$5a^2=1$$ 簡単に解決できます $\mathbb{F}_{11}$ 取得するため $a=\pm 3$。だから、秩序の要素$4$ です $\pm(3+6x)$

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Jyrki Lahtonen 2019-01-23 19:52.

二次多項式の分解体を形成するとき(標数を仮定) $\neq2$)あなたは本質的に判別式の平方根に隣接しています。

二次方程式により、の零点 $x^2+x+7$ です $$ x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot7}}2=\frac{-1\pm\sqrt{6}}2 $$ なので $1^2-4\cdot7=-27\equiv 6\pmod{11}$。言い換えれば、$\alpha=x+\langle x^2+x+7\rangle$ 二次のゼロである場合、 $2\alpha+1$ 6の平方根になります。

ここに $6\equiv-5$ そして $-1$は両方とも平方非剰余であるため、それらの比率は平方剰余であり、利用できます。それを観察するのが最も簡単かもしれません$4^2=16\equiv5$、それを意味する $$ \sqrt{-1}=\pm\frac14\sqrt{-5}=\pm\frac14(1+2\alpha)=\pm(3+6\alpha) $$ なので $1/4=3$

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