場合 $f\in BV(\mathbb{T})\cap C(\mathbb{T})$ のフーリエ級数は $f$ 一様に収束する $f$?

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Bob 2019-01-23 00:26.

で示す $BV(\mathbb{T})$ 1トーラスで定義された有界変動関数のセット $\mathbb{T}$

場合 $f\in BV(\mathbb{T})$、定義する $$f^°:\mathbb{T}\to\mathbb{C}, t\mapsto \frac{\lim_{s\to t^+}f(s)+\lim_{s\to t^-}f(s)}{2}.$$

場合 $f\in\ L^1(\mathbb{T})$、定義: $$\hat{f}:\mathbb{Z}\to\mathbb{C}, n\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}$$

次に(Duoandikoetxea-フーリエ解析、定理1.2を参照): $$\forall f\in BV(\mathbb{T}), \forall t\in\mathbb{T}, \sum_{n=-N}^N\hat{f}(n)e^{int}\to f^°(t), N\to\infty.$$ 明らかに、次の場合、点収束よりもはるかに多くを期待することはできません。 $f\in BV(\mathbb{T})$ 一様収束はそれを意味するので $f\in C(\mathbb{T})$一般的にはそうではありませんが。ただし、$f\in BV(\mathbb{T})\cap C(\mathbb{T})$、その後 $f^°=f$、したがって、質問は理にかなっています。

それは本当ですか $f\in BV(\mathbb{T})\cap C(\mathbb{T})$ その後 $\sup_{t\in\mathbb{T}}|\sum_{n=-N}^N\hat{f}(n)e^{int}- f(t)|\to 0, N\to\infty?$

1 answers

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Bob 2019-01-24 12:13.

実数値関数の定理を証明しましょう。

最初:表記法と有用な結果

場合 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$2\pi$-有界変動の右から一定期間連続する周期関数は、に関連付けられたルベーグ・スティルチェス符号付き測度を示します $f$$\mu_f$、すなわち $\mu_f$ 次のような唯一の符号付き測度です $$\mu _f((a,b])=f(b)-f(a).$$ また、定義する $V_f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ のバリエーションとして $f$、すなわち $$|\mu_f|((a,b])=V_f(b)-V_f(a).$$ 次の場合を思い出してください $\varphi\in C_c^1(\mathbb{R})$ 次に、パーツ式による次の統合を保持します。 $$\int_\mathbb{R}f(t)\varphi'(t)\operatorname{d}t=-\int_\mathbb{R}\varphi(t)\operatorname{d}\mu_f(t)$$ それは次のことにつながります: $$\forall\varphi\in C^1(\mathbb{R}), \forall a\in\mathbb{R}, \forall b>a, \int_a^bf(t)\varphi'(t)\operatorname{d}t=f(b^+)\varphi(b)-f(a^-)\varphi(a)-\int_{[a,b]}\varphi(t)\operatorname{d}\mu_f(t).$$ 私たちの場合には、 $f$ も連続的であるため、実際には次のこともあります。 $$\mu _f([a,b])=f(b)-f(a) \\ |\mu _f|([a,b])=V_f(b)-V_f(a)\\ \int_a^bf(t)\varphi'(t)\operatorname{d}t=f(b)\varphi(b)-f(a)\varphi(a)-\int_{[a,b]}\varphi(t)\operatorname{d}\mu_f(t).$$

また、定義する $f_x(t):=f(x+t)-f(x)$ それに注意してください $\mu_{f_x}(A)=\mu_{f}(x+A)$$|\mu_{f_x}|(A)=|\mu_{f}|(x+A)$ そして $V_{f_x}(t)=V_f(x+t).$

また、定義する $$\varphi_N(s):=\int_0^s \frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}\operatorname{d}t$$で、この質問に対する答えのことが証明されています。$$\exists C>0, \forall s\in[-\pi,\pi], \forall N\in\mathbb{N}, |\varphi_N(s)|\le C.$$

第二に:私たちが証明したいことの再定式化

私たちはそれを持っています: $$\sum_{n=-N}^N \hat{f}(n)e^{inx}-f(x)=\int_{-\pi}^\pi(f(x+t)-f(x))\frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}\frac{\operatorname{d}t}{2\pi} = \int_{-\pi}^\pi f_x(t)\frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}\frac{\operatorname{d}t}{2\pi},$$ したがって、次のことを証明したいと思います。 $$\sup_{x\in[-\pi,\pi]}\left|\int_{-\pi}^\pi f_x(t)\frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right|\to 0, N\to +\infty.$$

今:もし $\delta\in(0,\pi)$ 私たちはそれを持っています: $$\sup_{x\in[-\pi,\pi]}\left|\int_{-\pi}^\pi f_x(t)\frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right|\\ \le \sup_{x\in[-\pi,\pi]}\left|\int_{-\delta}^\delta f_x(t)\frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right| + \sup_{x\in[-\pi,\pi]}\left|\int_{[-\pi,\pi]\backslash [-\delta,\delta]} f_x(t)\frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right|.$$ だから、すべての人にとってそれを証明するのに十分です $\varepsilon>0$ が存在します $\delta\in(0,\pi)$ そのような: $$\forall N\in\mathbb{N}, \sup_{x\in[-\pi,\pi]}\left|\int_{-\delta}^\delta f_x(t)\frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right|\le \frac{C}{\pi}\varepsilon$$ そして: $$\sup_{x\in[-\pi,\pi]}\left|\int_{[-\pi,\pi]\backslash [-\delta,\delta]} f_x(t)\frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right|\to0, N\to+\infty.$$

3番目:最初の積分推定

部分積分式を使用してみましょう: $$\left|\int_{-\delta}^\delta f_x(t)\frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right|=\left|\int_{-\delta}^\delta f_x(t) \varphi_N'(t)\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right|\\ = \frac{1}{2\pi}\left|-\int_{[-\delta,\delta]} \varphi_N(t)\operatorname{d}\mu_{f_x}(t)+f_x(\delta)\varphi_N(\delta)-f_x(-\delta)\varphi_N(-\delta)\right|\le \frac{C}{\pi} |\mu_{f_x}|([-\delta,\delta]) \\ = \frac{C}{\pi} |\mu_{f}|([x-\delta,x+\delta]) = \frac{C}{\pi} (V_f(x+\delta)-V_f(x+\delta)).$$ さて、 $f$ 継続的、私たちはそれを持っています $V_f$ は連続的であり、たとえば間隔全体で均一に連続的です $[-2\pi,2\pi]$。だから、もし$\varepsilon>0$ そして $\delta\in(0,\frac{\pi}{2})$ のためのようなものです $|x-y|\le 2\delta$ 私たちはそれを持っています $|V_f(x)-V_f(y)|<\varepsilon$、それから私たちはそれを持っています: $$\forall x\in [-\pi,\pi], (V_f(x+\delta)-V_f(x+\delta)) <\varepsilon$$ など: $$\forall N\in\mathbb{N}, \sup_{x\in[-\pi,\pi]}\left|\int_{-\delta}^\delta f_x(t)\frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right|\le \frac{C}{\pi}\varepsilon$$

4番目:2番目の積分推定

以来: $$\sin\left((N+\frac{1}{2})t\right)= \sin (Nt) \cos(\frac{t}{2})+\cos (Nt) \sin(\frac{t}{2}),$$ 私たちはそれを持っています: $$\frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}=\frac{\sin(Nt)}{\tan(\frac{t}{2})}+\cos(Nt).$$ 今: $$\int_{-\pi}^{\pi} f_x(t) \cos(Nt) \operatorname{d}t = -\int_{-\pi}^{\pi} f_x(t-\frac{\pi}{N}) \cos(Nt) \operatorname{d}t,$$ そう: $$\left|\int_{-\pi}^{\pi} f_x(t) \cos(Nt) \operatorname{d}t\right| = \left|\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} (f_x(t)-f_x(t-\frac{\pi}{N})) \cos(Nt) \operatorname{d}t\right| = \left| \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} (f(t)-f(t-\frac{\pi}{N})) \cos(Nt) \operatorname{d}t\right|\le \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left|(f(t)-f(t-\frac{\pi}{N}))\right| \operatorname{d}t\le \omega_{f,1}(\frac{\pi}{N}) $$ どこ $$\omega_{g,1}(\alpha)=\sup_{h\in[-\alpha,\alpha]}\int_{-\pi}^{\pi} |g(t+h)-g(t)|\operatorname{d}t$$ その後: $$\sup_{x\in[-\pi,\pi]}\left|\int_{[-\pi,\pi]\backslash [-\delta,\delta]} f_x(t)\cos(Nt)\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right|\le \sup_{x\in[-\pi,\pi]}\left|\int_{[-\pi,\pi]} f_x(t)\cos(Nt)\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right| \le \frac{1}{2\pi} \omega_{f,1}(\frac{\pi}{N})$$

だから、 $f\in L^1([-\pi,\pi])$、私たちはそれを持っています $$\omega_{f,1}(\frac{\pi}{N})\to 0, N\to+\infty$$ その後: $$\sup_{x\in[-\pi,\pi]}\left|\int_{[-\pi,\pi]\backslash [-\delta,\delta]} f_x(t)\cos(Nt)\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right|\to 0, N\to+\infty.$$

したがって、次のことを証明する必要があります。 $$\sup_{x\in[-\pi,\pi]}\left|\int_{[-\pi,\pi]\backslash [-\delta,\delta]} f_x(t)\frac{\sin(Nt)}{\tan(\frac{t}{2})}\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right|\to 0, N\to+\infty.$$

さあ、 $\psi$ 継続的であること $2\pi$-と一致する機能 $t\mapsto \frac{1}{\tan(\frac{t}{2})}$ オン $[-\pi,\pi]\backslash[-\delta,\delta]$。次に、証明したいことは次と同等です。$$\sup_{x\in[-\pi,\pi]}\left|\int_{[-\pi,\pi]\backslash [-\delta,\delta]} f_x(t)\psi(t)\sin(Nt)\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right|\to 0, N\to+\infty.$$ 以前と同じ手法で、次のことが可能になります。

$$\left|\int_{[-\pi,\pi]} f_x(t)\psi(t)\sin(Nt){\operatorname{d}t}\right|\le \left|\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} (f_x(t)\psi(t)-f_x(t-\frac{\pi}{N}))\psi(t-\frac{\pi}{N})) \cos(Nt) \operatorname{d}t\right|\\ \le \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\left| f_x(t)\psi(t)-f_x(t-\frac{\pi}{N})\psi(t-\frac{\pi}{N}))\right|\operatorname{d}t \le \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\left| f_x(t)\psi(t)-f_x(t-\frac{\pi}{N})\psi(t)+f_x(t-\frac{\pi}{N})\psi(t)-f_x(t-\frac{\pi}{N})\psi(t-\frac{\pi}{N}))\right|\operatorname{d}t \\ \le \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\left| f_x(t)\psi(t)-f_x(t-\frac{\pi}{N})\psi(t)\right|\operatorname{d}t+ \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\left|f_x(t-\frac{\pi}{N})\psi(t)-f_x(t-\frac{\pi}{N})\psi(t-\frac{\pi}{N}))\right|\operatorname{d}t \\ \le \frac{\|\psi\|_\infty}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\left| f_x(t)-f_x(t-\frac{\pi}{N})\right|\operatorname{d}t+ \frac{\|f\|_\infty}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\left|\psi(t)-\psi(t-\frac{\pi}{N}))\right|\operatorname{d}t \\ \le \frac{\|\psi\|_\infty}{2} \omega_{f,1}(\frac{\pi}{N})+ \frac{\|f\|_\infty}{2} \omega_{\psi,1}(\frac{\pi}{N})$$ それ以来 $f,\psi\in L^1([-\pi,\pi])$ $$\sup_{x\in[-\pi,\pi]}\left|\int_{[-\pi,\pi]\backslash [-\delta,\delta]} f_x(t)\psi(t)\sin(Nt)\frac{\operatorname{d}t}{2\pi}\right|\le\frac{1}{2\pi}\left(\frac{\|\psi\|_\infty}{2} \omega_{f,1}(\frac{\pi}{N})+ \frac{\|f\|_\infty}{2} \omega_{\psi,1}(\frac{\pi}{N})\right)\to 0, N\to+\infty.$$

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