ブラウン運動のコーシー密度関数

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Noname 2019-01-21 16:30.

しましょう $\{W(t):t\geq0\}$ ブラウン運動になり、 $\{\mathcal{F}_{t},t\geq0\}$その自然なろ過になります。しましょう$\{W_{2}(t):t\geq0\}$ 独立したブラウン運動であること $\{W(t):t\geq0\}$。を示してください$a>0$$$\tau_{a}=\inf\{t\geq0:W(t)=a\}.$$ それを使用して、最初の打撃時間の確率密度 $a>0$ ブラウン運動は $$f(t)= \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{ae^{-a^2/2t}}{\sqrt{2\pi t^{3}}}&\text{if }t>0\\ 0&\text{otherwise}. \end{array} \right. $$ の確率の否定を示す $W_{2}(\tau_{a})$ コーシー密度関数によって与えられます $$f(y)=\frac{a}{\pi(a^{2}+y^{2})},\quad y\in\mathbb{R}.$$

まず、私はその質問を完全には理解していません。コーシー密度関数は、時間における2番目のブラウン運動の確率密度関数ですか$\tau_{a}$、最初のブラウン運動が停止したとき?ブラウン運動の分布は分散が大きくなるはずですが、平均はゼロのままです。この場合のコーシー密度分布はわかりません。

1 answers

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AddSup 2019-01-22 15:55.

「コーシー密度関数は、時間における2番目のブラウン運動の確率関数ですか $\tau_a$、最初のブラウン運動が停止したとき?」はい。

「ブラウン運動の確率は分散が大きくなるだけで、平均はゼロのままです。この場合のコーシー密度分布はわかりません。」なので$a$ 増加するので、 $\tau_a$全体; コーシー分布には有限の分散はありませんが、分布は次のように分散します。$a$増加します。したがって、ブラウン運動の分散が時間とともに増加しているというあなたの理解と矛盾することはないようです。

そして問題の解決策: \begin{align} f_{W_2(\tau_a)}(y)dy &=P[W_2(\tau_a)\in(y,y+dy)]\\ &=\int_{t=0}^\infty P[W_2(\tau_a)\in(y,y+dy)|\tau_a=t]f_{\tau_a}(t)dt\\ &=\int_{t=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{y^2}{2t}}dy\frac{1}{\sqrt{2\pi t^3}} ae^{-\frac{a^2}{2t}}dt\\ &= \left(\int_{0}^\infty \frac{a}{2\pi t^2}e^{-\frac{y^2+a^2}{2t}}dt\right)dy,\quad\text{let }s=\frac{1}{t},\\ &= \left(\int_\infty^0\frac{as^2}{2\pi}e^{-\frac{y^2+a^2}{2}s}\left(-\frac{1}{s^2}\right)ds \right)dy\\ &=\left( \int_0^\infty\frac{a}{2\pi}e^{-\frac{y^2+a^2}{2}s}ds \right)dy\\ & = \frac{a}{\pi(a^2+y^2)}dy. \end{align}

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