ルーディンの関数分析定理3.10、乗算が連続であることの証明

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user8469759 2019-01-10 06:28.

仮定します $X$ ベクトル空間であり、 $X'$ 上の線形汎関数の分離ベクトル空間です $X$。そうして$X'$-トポロジー $\tau'$ 作る $X$ 双対空間がである局所凸空間に $X'$

証明の要約は定義します $$ V = \left\{x : \left| \Lambda_i x \right| < r_i, 1 \leq i \leq n \right\} $$ 場合 $\Lambda_1, \ldots, \Lambda_n \in X'$ そして $r_i > 0$ ために $i = 1,\ldots, n$

$V$ 凸状でバランスが取れており、 $V \in \tau'$、証明の核心は、すべてのコレクションが $V$ ローカルベースを形成します。

特に乗算については、

仮定します $x \in X$ そして $\alpha$スカラーです。次に$x \in sV$ いくつかのための $s>0$。場合$\left|\beta - \alpha \right| < r$ そして $y - x \in rV$ その後 $$ \beta y - \alpha x = (\beta - \alpha)y + \alpha(y - x) $$ にあり $V$ ただし $r$ とても小さいので $$ r(s + r) + \left| \alpha \right|r < 1 $$ したがって、スカラー倍算は連続的です。

おそらく、乗算が連続的であることを示すために著者が正確に証明しようとしていることをここで見逃しています。何が起こっているのかを詳しく説明できますか?

更新:

私は与えられたと思います $\alpha$ スカラーと $x \in X$ 著者はそれを証明したい $V$ そのような $\alpha x \in V$ オープンがあります $U \times W$$U$ の近所 $\alpha$ そして $W$ の近所 $x$ そのような場合 $\beta \in U$ そして $y \in W$ 我々は持っています $\beta y \in V$、しかし私は彼がそれを証明する理由を混乱させています $\beta y - \alpha x \in V$ 代わりに。

1 answers

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user8469759 2019-06-01 02:53.

Rudinが使用しているのは、乗算の連続性の概念の同等の定義です。この定義とバランスの取れたローカルベースの使用により、定理を証明できます。

セクション1.6には、次の定義があります。

同様に、スカラー倍算が連続であるという仮定は、マッピングが次のことを意味します。 $$ (\alpha,x) \to \alpha x $$$\Phi \times X$$X$ 連続的である場合: $x \in X$$\alpha$ スカラーであり、 $V$ の近所です $\alpha x$、それからいくつかのために $r > 0$ といくつかの近所 $W$$x$ 我々は持っています $ \beta W \subset V$ いつでも $\left| \beta - \alpha \right| < r$

定理3.10では、加算が連続であることが最初に証明されているので、この事実も使用します。

ここで、乗算の連続性の定義を言い換えて、ルーディンが証明しようとしていることを取得します。

私はそれを証明するのに十分簡単だと信じています $x \in X$ その後、 $s > 0$ そのような $x \in sV$、 どこ $V$ 私の質問で与えられたフォームの近隣です。

今なら $x \in X$$\alpha$ スカラーと $V$ そのようなオープンです $\alpha x \in V$ それから近所があります $V_0$$0$ そのような $V = \alpha x + V_0$。乗算が連続している場合は、$r > 0$ と近所 $W$$x$前述の条件を満たす。これは近所があると言うのと同じです$W_0$$0$ そのような

$$ \beta (x + W_0) \subset \alpha x + V_0 $$

しかし、これは言うことと同等です

$$ \beta y \in \alpha x + V_0 \iff \beta y - \alpha x \in V_0 $$

そしてこれらはすべてのために保持する必要があります $y \in x + W_0$、家族が $V$ あなたが導き出すことができるローカルを形成します

$$ y \in x + rV \iff y - x \in rV. $$

結論は:乗算がで連続であることを証明することです $(\alpha,x)$ あなたはすべての近所のためにそれを証明する必要があります $V$$\alpha x$ あります $r > 0$ そのような $\left|\beta - \alpha \right| < r$ そして $y - x \in rV$ 意味する $\beta y - \alpha x \in V$

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