のスペクトル $l^p$ 乗算演算子(Brezis 6.17)

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rubikscube09 2018-12-08 17:33.

スペクトル理論の基礎を確実に理解できるように、ブレジスの機能分析の本にある質問の簡単な健全性チェックをお願いします。

取る $l^p(\mathbb{R})$、 にとって $1\leq p \leq \infty$。固定された、制限された、実際のシーケンスの場合$\lambda_n$ 乗算演算子を定義します $M: l^p \to l^p$ 沿って: $$ M(x_1,x_2,x_3, \cdots ) = (\lambda_1 x_1 , \lambda_2x_2, \lambda_3x_3 ,\cdots) $$つまり、疑似ドット積タイプのものです。質問は私にの固有値を決定するように頼みます$M$、そしてスペクトル、 $\sigma(M)$

まず、固有値がある場合 $\mu$、 我々は持っています: $$ \mu x_1 = \lambda_1 x_1 \\ \mu x_2 = \lambda_2 x_2 \\ \mu x_3 = \lambda_3x_3 \\ \vdots $$ だが $\lambda_n$定数シーケンスである必要はないため、この演算子は一般に固有値を持ちません。スペクトラムの場合、次のようになります。$$ \sigma(M) = \{\mu \in \mathbb{R} : (M - \mu I) \text{ is not invertible}\} $$ 一般的に、 $M - \mu I$ 逆数があるので、いくつかのアクションを想定するのが合理的です $y$ によって与えられます: $$ \left(\frac{1}{\lambda_1 - \mu}y_1, \frac{1}{\lambda_2- \mu}y_2,\frac{1}{\lambda_3 - \mu}y_3 , \cdots \right) $$ したがって、演算子は次の場合に反転できません。 $\mu = \lambda_k$ いくつかのための $\lambda_k$。したがって、スペクトルは次の式で与えられます。$\{\lambda_n : n \in \mathbb{N}\}$

1 answers

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Martin Argerami 2018-12-09 01:37.

シーケンスがどこにあっても固有ベクトルがあります $\lambda$一部のサブセットでは一定です。特に、単一のポイントで。つまり、各セットについて$E_m=\{n:\ \lambda_n=\lambda_m\}$、 シーケンス $x=1_{E_m}$、それはとのシーケンスです $x_n=1$ もし $n\in E_m$ それ以外の場合はゼロ、 $Mx=\lambda_m x$

したがって、 $\{\lambda_n:\ n\in\mathbb N\}\subset\sigma(M)$。スペクトルは常に閉じているので、$\overline{\{\lambda_n:\ n\in\mathbb N\}}\subset\sigma(M)$

逆に、 $\mu\not\in\overline{\{\lambda_n:\ n\in\mathbb N\}}$、 が存在します $\delta>0$ そのような $|\mu-\lambda_n|>\delta>0$ すべてのために $n$。次に$$\left|\frac1{\mu-\lambda_n}\right|<\frac1\delta$$ すべてのために $n$、それはそのシーケンスを与えます $\{1/(\mu-\lambda_n)\}_n$ 有界なので $\mu I-M$反転可能です。これは$\overline{\{\lambda_n:\ n\in\mathbb N\}}\supset\sigma(M)$ など $$ \sigma(M)=\overline{\{\lambda_n:\ n\in\mathbb N\}} $$

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